を微分可能な二つの関数とし,
を定数とすると,
![{\displaystyle D\{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\}=c_{1}Dx_{1}+c_{2}Dx_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a4d041a05b555855d82c418b808588cfd70946)
となることはよく知られている[1].さらに
の定義から,
![{\displaystyle D^{m}\{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\}=c_{1}D^{m}x_{1}+c_{2}D^{m}x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/572bc338f2f804a346376ec504d0895493fdb5e2)
が従い[2],このことから
![{\displaystyle p(D)\{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\}=c_{1}p(D)x_{1}+c_{2}p(D)x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d49a46ac890f39d43d97611629f98b1f750ea8)
が導かれることは明らか[3]であろう.もちろん
は 2 個に限る必要はない.
この事実を微分作用素
は線形性をもつとか,加法的であるという.この意味で,式(3.1) または式(3.2) の微分方程式を“線形”微分方程式と呼ぶのである.線形方程式の特徴は次の重ね合わせの原理が成立することである.
[重ね合わせの原理Ⅰ,同次式の場合]
![{\displaystyle x_{i}(t)\quad (i=1,2,\cdots ,k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ff7b74b21761ad52cfdb750271c560482a4274)
が式(3.1) の解ならば,
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}c_{i}x_{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57218d8c564609aafb9ef28f3218d11a40f80bb)
も式(3.1) の解である.ここに
は定数とする.
証明
の線形性から
![{\displaystyle p(D)\left\{\sum _{i=1}^{k}c_{i}x_{i}(t)\right\}=\sum _{i=1}^{k}c_{i}p(D)x_{i}(t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34cc9cabc9d0cc5ad68941010ce597d1e61fb2f8)
となるからである[4][5].
例66
はいずれも,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta ^{2}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84bbad65ac9ad67f60e04f0ae64caba3662f4652)
の解である.したがって
を定数とするとき,
も上式の解となる.
この結果は非同次式に対しては,次のように拡張される.
[重ね合わせの原理Ⅱ,同次式の場合]
を
![{\displaystyle p(D)x_{i}=f_{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e1fa788d48d6c2e989ff4f1be3149134116b604)
の解とすると,
![{\displaystyle x(t):=\sum _{i=1}^{k}c_{i}x_{i}(t)\quad (c_{i}:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ff6d199d86b429e025bed926184dd264791494)
定数
![{\displaystyle )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775c8f99fbc2db4ef20dd618a468f110bae7bd76)
は,
![{\displaystyle p(D)x=\sum _{i=1}^{k}c_{i}f_{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f03bdd5ac1bedfa04f2db67e9421d85adb2ec89)
の解となる.
証明は,同次の場合と同じであるから省略する.[6]
例67
は
の解,
は
の解である.このとき,
![{\displaystyle x_{1}(t)+2x_{2}(t)=e^{-t}+2t-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e077d27482978002b43f58d230f02a4da694b088)
は,
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}+x=1+2t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b058d3756e84cbf6aea6f0dc61a2a15be8d93c85)
の解となる.
- ^
を
の関数,
を定数として,
および
- ^
第2次導関数についていえば,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(kf)={\frac {d}{dt}}{\frac {d}{dt}}(kf)={\frac {d}{dt}}\left(k{\frac {df}{dt}}\right)=k{\frac {d}{dt}}{\frac {df}{dt}}=k{\frac {d^{2}f}{dt^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b259149beed4ee0a2cd786f42f9bb184cffa81)
また
- ^
等から,
![{\displaystyle p(D)\{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\}=p(D)\{c_{1}x_{1}\}+p(D)\{c_{2}x_{2}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/819ae058b9fa66ef461152dbdd15f1243cbd6ead)
等から,
![{\displaystyle p(D)\{c_{1}x_{1}\}+p(D)\{c_{2}x_{2}\}=c_{1}p(D)x_{1}+c_{2}p(D)x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5dba36a69d6bc00271b05da8d4b4c8c1888770b)
- ^
![{\displaystyle p(D)\left\{\sum _{i=1}^{k}c_{i}x_{i}(t)\right\}=\sum _{i=1}^{k}p(D)c_{i}x_{i}(t)\quad \because (f+g)'=f'+g'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b08d8e73963694a26bb8abcc4b75860a3fc474f5)
![{\displaystyle =\sum _{i=1}^{k}c_{i}p(D)x_{i}(t)\quad \because (kf)'=kf'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e3795c2003df937d304d251e81b33d717934e6)
![{\displaystyle =\sum _{i=1}^{k}c_{i}\cdot 0=0\quad \because p(D)x_{i}(t)=0(i=1,2,\cdots ,k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b95f7466306cc94638c19342aa175c845ff2a6c)
- ^
が式(3.1) の解ならば,
…①
が式(3.1)の解かどうかは,
式(3.1)に実際に代入してみるとよく,すなわち,
の値が
①のもとで
であれば
も 式(3.1) の解であり,実際にそうであった.
- ^
証明:
…①
![{\displaystyle p(D)x(t)=p(D)\sum _{i=1}^{k}c_{i}x_{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79fe8cf16430b02fffe2ced806f0165647371472)
![{\displaystyle =\sum _{i=1}^{k}p(D)c_{i}x_{i}(t)\quad \because (f+k)'=f'+k'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd50c285279206fc2a3146000347ca7dcaf7d451)
![{\displaystyle =\sum _{i=1}^{k}c_{i}p(D)x_{i}(t)\quad \because (kf)'=kf'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e3795c2003df937d304d251e81b33d717934e6)
①