定数係数の線形微分方程式を,
(3.25)
![{\displaystyle p(D)x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433eeedc9ee32edf3b41835536c6dc2682f3b382)
とおく.ここに
は特性多項式である.もし,これが,
![{\displaystyle p(s)=\prod _{i=1}^{\mu }(s-\gamma _{i})^{l_{i}}\prod _{j=1}^{\nu }{\bigg [}(s-\alpha _{j})^{2}+\beta _{j}^{2}{\bigg ]}^{m_{j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/858483f1e8b81a476a4ae08e9bdfc844184ee345)
![{\displaystyle n=\sum _{i=1}^{\mu }+2\sum _{j=1}^{\nu }m_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68aa89f202e43aa2b3eeee16569f52c8f7a5d80)
と因数分解できるならば,式 (3.25) の解は,
![{\displaystyle {\frac {1}{(s-\gamma _{i})^{l}}}\sqsubset e^{\gamma _{i}}t\xi _{l}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0020c353c4599cfbd64a78fba7f6300e937384c)
および,
![{\displaystyle {\frac {1}{{\bigg [}(s-\alpha _{j})^{2}+\beta _{j}^{2}{\bigg ]}^{m}}}\sqsubset e^{\alpha _{j}t}\varphi _{j_{m}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd57dc83bef671b8cd67310c2cbfbd73df6d1cb)
![{\displaystyle {\frac {s-\alpha _{j}}{{\bigg [}(s-\alpha _{j})^{2}+\beta _{j}^{2}{\bigg ]}^{m}}}\sqsubset e^{\alpha _{j}t}\phi _{j_{m}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770b3e791034df8844826bebbe81243c868f1163)
のような
個の関数の 1 次結合で与えられることは,前節で示した.ここに,
![{\displaystyle \xi _{l}(t)={\frac {t^{l-1}}{(l-1)!}}\sqsupset {\frac {1}{s^{l}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5fe3415a3ad6b642e66c3f516c85c2a04d9a702)
![{\displaystyle \varphi _{j_{m}}(t)={\frac {\sin \beta _{j}t}{\beta _{j}}}*\cdots *{\frac {\sin \beta _{j}t}{\beta _{j}}}\sqsupset {\frac {1}{(s^{2}+\beta _{j}^{2})^{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/882c65147db13aca06d105b41cb242b21f0e3cf2)
![{\displaystyle \phi _{j_{m}}(t)={\frac {d\varphi _{j_{m}}(t)}{dt}}\sqsupset {\frac {s}{(s^{2}+\beta _{j}^{2})^{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911db32df54ec741b5e0753c9e9c79c81441e486)
である.これらが 1 次独立であることを示すのが,本項の目的である.つまり
に関する恒等式,
![{\displaystyle \sum _{i,l}A_{il}e^{\gamma _{i}t}\xi _{l}(t)+\sum _{j,m}e^{\alpha _{j}t}\left\{B_{jm}\varphi _{jm}(t)+C_{jm}\phi _{jm}(t)\right\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925f5d831666aa54fe8c7779f663367da4d62214)
から,すべての
に対して,
![{\displaystyle A_{il}=B_{jm}=C_{jm}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2adeb9c580ca2f4b2bcecfecaa425c12b12892)
を示すことである.この証明には補題 3.4 と,前章に示した事実,
![{\displaystyle (D-\gamma )^{l-1}\cdot e^{\gamma t}\xi _{l}(t)=e^{\gamma t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e4803ff7ca1d86776bf641e10bf2e0e2275b727)
および
![{\displaystyle {\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{m-1}\cdot e^{\alpha t}\left\{B\varphi _{m}(t)+C\phi _{m}(t)\right\}=e^{\alpha t}\left({\frac {B}{\beta }}\sin \beta t+C\cos \beta t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc8da128c262bee65f29f0685ab410139cb32a8)
を用いる.
定理 3.4
個の関数
![{\displaystyle \left\{e^{\gamma _{i}t}\xi _{l}(t),e^{\alpha _{j}t}\varphi _{jl}(t),e^{\alpha _{j}t}\phi _{jl}(t)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a879b9b04702b84eb1e4a0db72f5da1f1aad720)
は 1 次独立である.
証明
![{\displaystyle p(s)=(s-\gamma )^{l}{\bigg [}(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bd4bcc66d1a11464ed35b0be267d9e0a358a4a8)
の場合を証明すれば十分であろう.一般の場合は添え字
などが二重についてわずらわしいだけである.
(3.26)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{l}A_{i}e^{\gamma t}\xi _{i}(t)+\sum _{j=1}^{m}e^{\alpha t}\left\{B_{j}\varphi _{j}(t)+C_{j}\phi _{j}(t)\right\}\equiv 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3786289ed1f1066d7cdfececa74a5a2fddddf6c)
に,
![{\displaystyle p_{1}(D):=(D-\gamma )^{l-1}{\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e69d77d82b8f91438c31c4bfbb2a849306a17049)
を作用させると,
の場合以外はすべて消えて,
![{\displaystyle A_{l}{\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{m}e^{\gamma t}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d72cf22811cf695dda46613904d8d44d2b04c58)
となる.補題 3.4 により
![{\displaystyle {\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{m}e^{\gamma t}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6f74576f0e65d04e6069b0c1c6adfc8b7ad2d1)
であるから,
![{\displaystyle A_{l}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e5f435a9f8bfe550ec7e3861876dc1508eeef8)
を得る.次に,
![{\displaystyle p_{2}(D):=(D-\gamma )^{l-2}{\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f75029a570e24bb170bf353d35189f9def001fe0)
を作用させると
となり,以下同様にして,
![{\displaystyle A_{i}=0\quad (i=1,2,\cdots ,l)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e577e04fe6f3280bf788f9958fabd03d6942d8c)
を得る.このとき式 (3.26) は,
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}e^{\alpha t}\left\{B_{j}\varphi _{j}(t)+C_{j}\phi _{j}(t)\right\}\equiv 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5c674529aa7e33912bcbe92db7fe4825c7ef10)
となっている.これに,
![{\displaystyle q_{1}(D):={\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{m-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d113a51f2bcc96e0a6dab7a5099f05c007e198e3)
を作用させると,
![{\displaystyle e^{\alpha t}\left\{B_{m}{\frac {1}{\beta }}\sin \beta t+C_{m}\cos \beta t\right\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19712662865bc8d62da52be58a7c3a9004eea584)
![{\displaystyle \therefore B_{m}=C_{m}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f856bc3eb2cb1901974a6b35e82ce4fc330f30)
となる.以下同様にして,
![{\displaystyle B_{j}=C_{j}=0\quad (j=1,2,\cdots ,m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed7628427e55538604573a82dd7f2046ecd8f4e)
を得る.