二次形式とはすべての項の次数が2である多項式のことであり、一般に次のように表すことができる。 ∑ i , j = 1 n a i j x i x j {\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}
これは、対称行列 A = ( a i j ) {\displaystyle A=(a_{ij})} 列ベクトル x = ( x i ) {\displaystyle x=(x_{i})} を用いて、 t x A x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) {\displaystyle {}^{t}xAx=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}){\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{cc}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right)}
と表すことができる。
例えば、 x 2 + 4 z 2 + 3 x y − y z {\displaystyle x^{2}+4z^{2}+3xy-yz} は二次形式であるが、 3 x 3 + x y 2 + 4 y z + 8 {\displaystyle 3x^{3}+xy^{2}+4yz+8} は二次形式ではない。
4 x 2 + 6 y 2 + 8 z 2 {\displaystyle 4x^{2}+6y^{2}+8z^{2}} のように、変数の混じった項がない二次形式を標準形といい、次のように表せる。 ∑ i = 1 n a i i x i 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}}
2つの変数 x , y {\displaystyle x,y} の一般の二次形式を用いて a x 2 + b y 2 + c x y = d {\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cxy=d} と表された二次曲線を、変数変換によって a ′ x ′ 2 + b ′ y ′ 2 = d {\displaystyle a'x'^{2}+b'y'^{2}=d} のような標準形の二次形式を用いた形に変換することを、主軸変換という。
