解析学基礎/広義積分

区間[a,b]上の連続関数f(x)の定積分$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$についてはこれまでに述べた通りです。この節では、区間が有限でない場合について述べます。

無限区間の積分

無限区間の積分とは、積分区間の片方の端（あるいは両端）がないものをいいます。このような積分は、たとえばa以上のすべての実数という区間について積分するならば$\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx$のように、$\infty$を使って表します。このような積分は、単純に原始関数を見つけて$\infty$を代入する、などといって計算することはできませんが、極限を用いて積分を書き直せばうまくいきそうです。

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{1}^{b}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx$

このように書きなおせば、原始関数を見つけて定積分を計算し、積分が収束するかを確かめればよいことがわかります。

$\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{1}^{b}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{b\rightarrow \infty }\left[-{\frac {1}{x}}\right]_{1}^{b}=\lim _{b\rightarrow \infty }\left(-{\frac {1}{b}}+1\right)=1$

そこで、一般の無限区間の広義積分については、以下のように定義します。

• (a) $b\geq a$となる任意の数bについて$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$が存在するとき

$\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

• (b) $a\leq b$となる任意の数aについて$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$が存在するとき

$\int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx=\lim _{a\rightarrow {-\infty }}\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

これらの極限が存在するとき積分は収束するといい、存在しないときは発散するといいます。

• (c) 同様にして$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx$を以下のように定義することができます。

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx+\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx$

ただし、定義できるのはどちらの積分も収束するときです。

例を見てみましょう。$\int _{0}^{\infty }x\exp(-x^{2})\,dx$は収束するでしょうか。

$\int _{0}^{\infty }x\exp(-x^{2})\,dx=\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{0}^{b}x\exp(-x^{2})\,dx$

$u=-x^{2},dx=-{\frac {du}{2x}}$と置換を行うと、合成関数の微分法より原始関数を見つけることができ、

$\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{0}^{b}x\exp(-x^{2})\,dx=\lim _{b\rightarrow {\infty }}\left[-{\frac {\exp(-x^{2})}{2}}\right]_{0}^{b}=\lim _{b\rightarrow \infty }\left\{{\frac {1}{2}}-{\frac {\exp(-b^{2})}{2}}\right\}={\frac {1}{2}}$

よってこの積分は1/2に収束します。

優関数の原理

具体的に原始関数を見つけられない場合でも、広義積分が収束するかどうか判定できれば便利です。そのような判定のために、次の定理が役に立ちます。

定理 連続関数$f(x)$に対して、$a\leq x$において$|f(x)|\leq g(x)$をみたし、$\int _{a}^{\infty }g(x)dx$が収束するような連続関数$g(x)$が存在するならば、$\int _{a}^{\infty }f(x)dx$は収束する。

この$g(x)$を$f(x)$の優関数といいます。

（証明）

$\int _{a}^{\infty }g(x)dx=G$

とおく。仮定より、$a\leq t\leq s$なるt,sに対して

$\left|\int _{t}^{s}f(x)dx\right|\leq \int _{t}^{s}|f(x)|dx\leq \int _{t}^{s}g(x)dx$

である。よって、$n\geq a$なる自然数nに対して$c_{n}=\int _{a}^{n}f(x)dx,d_{n}=G-\int _{a}^{n}g(x)dx$とすると、非負の値をとる数列$d_{n}$は$\lim _{n\to \infty }d_{n}=0$を満たし、$n\geq m$なる自然数mに対して

$|c_{n}-c_{m}|\leq d_{m}-d_{n}\leq d_{m}$

が成り立つ。よって数列$c_{n}$はコーシー列なので、$\lim _{n\to \infty }c_{n}$は収束する。$\lim _{n\to \infty }c_{n}=F$とする。

$a\leq t\leq n$なる実数tと自然数nを考えると、

$\left|\int _{a}^{n}f(x)dx-\int _{a}^{t}f(x)dx\right|=\left|\int _{t}^{n}f(x)dx\right|\leq \int _{t}^{n}g(x)dx=\int _{a}^{n}g(x)dx-\int _{a}^{t}g(x)dx$

なので、$n\to \infty$の極限をとると

$\left|F-\int _{a}^{t}f(x)dx\right|\leq G-\int _{a}^{t}g(x)dx$

である。さらに$t\to \infty$の極限をとると

$\lim _{t\to \infty }\left(G-\int _{a}^{t}g(x)dx\right)=0$

なので、はさみうちの原理より

$\lim _{t\to \infty }\left|F-\int _{a}^{t}f(x)dx\right|=0$

である。すなわち、

$\int _{a}^{\infty }f(x)dx=F$

である。//