チェザロ平均

数列$\left\{a_{n}\right\}$に対して、初項から第n項までの総和をnで割ったもの、即ち

${\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}$

をw:チェザロ平均という。

さて、チェザロ平均について、次の性質が成り立つ。

$a_{n}\to \alpha \ \Rightarrow \ {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\to \alpha$

この結果の数学的利用価値については上記のWikipediaへのリンクを参照してもらうとして、ε-N論法の練習としてこの命題を証明してみよう。

証明 まず、仮定をε-N論法で書き直しておく。

$\forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} \ (n>N\Rightarrow |a_{n}-\alpha |<\varepsilon )\cdots (1)$

ここで、

$\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-\alpha \right|$

を考えると、

$\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-\alpha \right|$

$=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-{\frac {n\alpha }{n}}\right|$

$=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-\alpha )\right|$

三角不等式を用いて変形すると、

$\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-\alpha )\right|\leq {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left|a_{k}-\alpha \right|$

となる。 いま、(1)の各εと対応するNに対して、n>Nとして、

${\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left|a_{k}-\alpha \right|$

$={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}\left|a_{k}-\alpha \right|+{\frac {1}{n}}\sum _{k=N+1}^{n}\left|a_{k}-\alpha \right|$

$<{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}\left|a_{k}-\alpha \right|+{\frac {n-N}{n}}\varepsilon$

$<{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}\left|a_{k}-\alpha \right|+\varepsilon$

ここで、任意の実数より大きな自然数が存在するから（これをアルキメデスの原理と言う/アルキメデスの原理は定理である）、

${\frac {1}{\varepsilon }}\sum _{k=1}^{N}\left|a_{k}-\alpha \right|<M$

すなわち

${\frac {1}{M}}\sum _{k=1}^{N}\left|a_{k}-\alpha \right|<\varepsilon$

を満たす自然数Mが存在する。 よって、各εに対して、Nより大きくかつM以上のnで、

$\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-\alpha \right|<\varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon$

以上のように、任意の正の実数εに対して、max{N,M}なる自然数が存在して、nがこれより大きいとき、$\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-\alpha \right|$がεの定数倍より小さくなるから、

${\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\to \alpha$　■