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リーマン幾何学

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ここでは、ミンコフスキー空間の計量を   とする。

  を計量テンソルの行列式とする。計量テンソルの   小行列式を   とすると、

 

となるから、

 

を得る。

 

は、

 

となるから、

 

を得る。

また、ベクトル   に対して、

 

となる。

ついでに、ラプラシアンの極座標における表式を求めてみよう。

 

極座標では、   であるから、その逆行列は   となる。また、  [1]である。これらを代入することで、ラプラシアンが簡単に計算できる:

 

弱い重力場の計量テンソル

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速度   で、重力ポテンシャル   の場の中にある質量   の粒子の作用は

 

で与えられる。一方、

 

であるから、

 

を得る。両辺を二乗して、  となるから、

 

ここで、  を使った。また、計量テンソルは

 

で定義されるものだから、

 

を得る。

アインシュタイン方程式

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電磁場との類推から、重力場のラグランジアンは、計量テンソルの一回微分   に関する二次の量   であろう。しかし、   は任意の一点ですべて0とすることができる。このことは、局所慣性系で   をすべて0となることから明らかである。したがって、   はスカラーではない。ところで、リッチスカラー  

 

の形に変形することができ、作用は

 

のようになる。第二項の積分はガウスの定理よって、四次元の面積分に変換され、境界で   という条件を課せば変分で第二項は消えることになる。

重力場のラグランジアンは   を定数として

 

で与えられることが分かる。物質場のラグランジアンを   とすれば、全系の作用は

 

となる。変分は、

 

である。ただし、  はそれぞれアインシュタインテンソルとエネルギー・運動量テンソルで、

 

 

で定義される。

  という条件から、アインシュタイン方程式

 

を得る。

しかし、まだアインシュタインテンソルの具体的な表式を得ていない。これを   から計算することは大変だから、直接変分することによって求める。

 

ここで、ある一点で   となる局所慣性系を使うと、リッチテンソルは

 

となり、その変分は、

 

で与えられる。

また、   はテンソルだから、任意の座標系で

 

となることがわかる。

よって、

 

となるから、これは積分して0となる。

最終的に、

 

となるから、アインシュタインテンソルは、

 

である。

したがって、アインシュタイン方程式は、

 

となる。

シュヴァルツシルト解

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参考文献

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  • エリ・デ・ランダウ、イェ・エム・リフシッツ著、恒藤敏彦、広重徹訳『場の古典論(原著第6版)』東京図書(1978)
  • 中嶋慧、松尾衛『一般ゲージ理論と共変解析力学』現代数学社(2020)
  1. ^    は根号の中身を正とするために導入したものである。今回の場合は、   は正だから   としていい。