ここでは、ミンコフスキー空間の計量を とする。
を計量テンソルの行列式とする。計量テンソルの 小行列式を とすると、
となるから、
を得る。
は、
となるから、
を得る。
また、ベクトル に対して、
となる。
ついでに、ラプラシアンの極座標における表式を求めてみよう。
極座標では、 であるから、その逆行列は となる。また、 [1]である。これらを代入することで、ラプラシアンが簡単に計算できる:
速度 で、重力ポテンシャル の場の中にある質量 の粒子の作用は
で与えられる。一方、
であるから、
を得る。両辺を二乗して、 となるから、
ここで、 を使った。また、計量テンソルは
で定義されるものだから、
を得る。
電磁場との類推から、重力場のラグランジアンは、計量テンソルの一回微分 に関する二次の量 であろう。しかし、 は任意の一点ですべて0とすることができる。このことは、局所慣性系で をすべて0となることから明らかである。したがって、 はスカラーではない。ところで、リッチスカラー は
の形に変形することができ、作用は
のようになる。第二項の積分はガウスの定理よって、四次元の面積分に変換され、境界で という条件を課せば変分で第二項は消えることになる。
重力場のラグランジアンは を定数として
で与えられることが分かる。物質場のラグランジアンを とすれば、全系の作用は
となる。変分は、
である。ただし、 はそれぞれアインシュタインテンソルとエネルギー・運動量テンソルで、
で定義される。
という条件から、アインシュタイン方程式
を得る。
しかし、まだアインシュタインテンソルの具体的な表式を得ていない。これを から計算することは大変だから、直接変分することによって求める。
ここで、ある一点で となる局所慣性系を使うと、リッチテンソルは
となり、その変分は、
で与えられる。
また、 はテンソルだから、任意の座標系で
となることがわかる。
よって、
となるから、これは積分して0となる。
最終的に、
となるから、アインシュタインテンソルは、
である。
したがって、アインシュタイン方程式は、
となる。
- エリ・デ・ランダウ、イェ・エム・リフシッツ著、恒藤敏彦、広重徹訳『場の古典論(原著第6版)』東京図書(1978)
- 中嶋慧、松尾衛『一般ゲージ理論と共変解析力学』現代数学社(2020)
- ^ の は根号の中身を正とするために導入したものである。今回の場合は、 は正だから としていい。