中等教育前期の数学/代数編/上巻/一次不等式と連立不等式

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1次不等式

同じ大きさの量を「=」で結んだ式を方程式と呼ぶことを既に学習した。ここでは、異なった量の大きさの違いを表す記号と、その性質についてまとめる。

ある数A,Bがあるとき、AがBより大きいことを$A>B$と表し、AがBより小さいこと（AがB未満）を$A<B$と表す。ここで、「$<$」と「$>$」のことを不等号と呼び、このような式を不等式と呼ぶ。また、「$\leqq ,\geqq$」という不等号もあり、「$A\leqq B,A\leqq B$」は、それぞれ「AがB以下」「AがB以上」という意味で、「$A<B,A>B$」に、A=B、つまり、AとBが等しい値である場合をふくんだものである。なお、国際的には「$\leq ,\geq$」を使うことがある。

• 例

$x>7$という不等式があるとき、xは7より大きい数である。また、$x\geqq 7$の時には、xは7以上の数である。

不等式では等式と同じように、両辺に演算をしても不等号の関係が変わらないことがある。例えば、両辺に同じ数を足しても、両辺の大小関係は変化しない。ただし、両辺に負の数をかけたときには、不等号の向きが変化することに注意が必要である。これは、負の数をかけると両辺の値は、0を中心に数直線を折り返した地点に移されることによる。

不等式の性質

1. $a<b$ならば、$a+c<b+c$，$a-c<b-c$

2. $a<b$，$c>0$ならば、$ac<bc$，${\frac {a}{c}}<{\frac {b}{c}}$

3. $a<b$，$c<0$ならば、$ac>bc$，${\frac {a}{c}}>{\frac {b}{c}}$

• 例

$x>y$が成り立つときには、$x+3>y+3$、$4x>4y$も成り立つ。また、$-x<-y$が成り立つ。

不等式の性質を使って

$a{\color {red}+3}<b\;$

の両辺から3を引くと

$a+3-3<b-3\;$

よって

$a<b{\color {red}-3}\;$

となる。
このように、不等式でも移項することができる。

• 問題

次の不等式を解きなさい。

1. $3x-1\leqq 9x-7$
2. $3(x-2)>2(5x-3)$
3. $x+1<{\frac {x-1}{3}}$

• 解答

1. ${\begin{aligned}\quad 3x-1&\leqq 9x-7\\3x-9x&\leqq -7+1\\-6x&\leqq -6\\x&\geqq 1\end{aligned}}$
2. ${\begin{aligned}\quad 3(x-2)&>2(5x-3)\\3x-6&>10x-6\\3x-10x&>-6+6\\-7x&>0\\x&<0\end{aligned}}$
3. ${\begin{aligned}\quad x+1&<{\frac {x-1}{3}}\\3x+3&<x-1\\3x-x&<-1-3\\2x&<-4\\x&<-2\end{aligned}}$

不等式と数直線

• 
  図1
• 
  図2
• 
  図3
• 
  図4

$x>3,x<3,x\geqq 3,x\leqq 3$は、数直線上では図1,2,3,4のようにあらわすことがある。

連立不等式

いくつかの不等式を組み合わせたものを連立不等式といい、これらの不等式を同時に満たす$x$の値の範囲を求めることを、連立不等式を解くという。

• 問題例

• • 問題

次の連立不等式を解きなさい。

(i)

$\left\{{\begin{matrix}x+2<2x+4\\10-x\geqq 3x-6\end{matrix}}\right.$

(ii)

${\begin{cases}x\geqq 1-x\\2(x+1)>x-2\end{cases}}$

• • 解答

(i)
$x+2<2x+4$から　$-x<2$

$x>-2$……(1)

$10-x\geqq 3x-6$から　$-4x\geqq -16$

$x\leqq 4$……(2)

(1),(2)を同時に満たす$x$の値の範囲は

右の図のように、2つの範囲が重なるところを探すと

$-2<x\leqq 4$

(ii)
$x\geqq 1-x$から　$2x\geqq 1$

$x\geqq {\frac {1}{2}}$……(1)

$2(x+1)>x-2$から　$2x+2>x-2$

$x>-4$……(2)

(1),(2)を同時に満たす$x$の値の範囲は

$x\geqq {\frac {1}{2}}$

$A<B<C$の形の連立不等式

$A<B<C$の形の連立不等式は、

$\left\{{\begin{matrix}A<B\\B<C\end{matrix}}\right.$

の形に直して解く。

$\left\{{\begin{matrix}A<B\\A<C\end{matrix}}\right.$や、$\left\{{\begin{matrix}A<C\\B<C\end{matrix}}\right.$

とはしない。