中等教育前期の数学/幾何編/下巻/線分の比と軽量

平面図形

ここでは、三角形の重心、外心、内心などについて説明する。更に、四角形が円に内接する条件や方べきの定理などについても扱う。

三角形の性質

三角形の重心

三角形の頂点から相対する辺の中点に対して下ろした線分のことを 中線 （ちゅうせん）という。

三角形の3つの中線の交点のことを、その三角形の 重心 （じゅうしん）という。

右図では、点Gが△ABCの重心である。

三角形の重心

三角形の重心 定理 三角形の3本の中線は1点で交わる。また、その交点は中線を 2:1 に内分する。

• 証明

△ ABC を取りBC,ACの中点をそれぞれ D, E とする。また、線分AD,BEの交点を G とする。ここで、点Eから線分ADに向かって辺BCに平行な線分を取り、 線分ADとの交点を L とする。

このとき、三角形 GEL と、GBDは相似であり 互いの相似比は 1:2 であることを示す。 LEとBCが平行であることから、

$\angle GBD=\angle GEL$

$\angle GDB=\angle GLE$

となり、2角が等しいことから△ GEL と △ GBD は相似である。 更に、LEとBCが平行であることから△ALEと△ADCも相似であり、その相似比は点Eが線分ACの中点であることを考えると、1:2である。よって、

$LE:DC=1:2$

が成立し、△GELと△GBDの相似比は1:2であることがわかった。 また、△ALEと△ADCの相似から

$AL=LD$

が得られる。これらのことからAGとADの比を計算すると、

$AG=AL+LG={\frac {1}{2}}AD+{\frac {1}{3}}LD$

$={\frac {1}{2}}AD+{\frac {1}{6}}AD={\frac {2}{3}}AD$

となり、確かに G はADを2:1に内分する点になっている。

同様にして、頂点Cから線分ABにむかって中線AKを引き、中線AKとADとの交点をHとすると、 上記の証明と同様の論理でADは点Hにより 2:1 に内分される。

内分の比率が同じなので、点Hと点Gは一致する。

（※ 高校数学の範囲外）「重心」の力学的なバランス

※ 2019年現在では高校の理科で 重心 の力学的な習うが、過去のカリキュラムでは中学の数学で後述の話題を扱ってた時代がある。 厚めの画用紙などで三角形をつくり、その三角形を水平にして、右図のように三角形の重心の部分で、棒で支えると、 水平方向の重さのバランスがとれるので、三角形を水平に保つことができる。 そもそも、このように重さのバランスを取れる場所であるので「重心」という名前がついている。重心の英語の center of gravity という英単語も、「重力の中心」という意味である。 理科の「物理」科目で習う「重心」とは、この例のように、重さのバランスを取れる部分という意味である。 なお、このような力学的な「重心」については、三角形だけでなく四角形や五角形などでも、同様に水平方向の重さのつりあいをとれる点として、力学的に「重心」を定義できる。 また、平面図形だけでなく立体図形でも同様、力学的に「重心」を定義できる。