初等整数論/平方剰余の相互法則の証明

平方剰余の相互法則の証明は様々なものが知られているが、初等的な証明として、アイゼンシュタインによる、ガウスの補題の変形と、幾何的な考えを用いた証明が知られている。 まず、ガウスの補題の変形から始める。

ガウスの補題の変形編集

p, q が相異なる奇素数のとき

 

が成り立つ。つまり    が奇数となるものの個数と一致する。

証明
aqp で割った余りが   より大きい   が奇数が成り立つことを示せばよい。 実際

 

となるように整数 b , r を定めると

 

より   のとき   より   となり、 一方   のとき

  より

  となる。


相互法則の証明編集

まず、次の補題を証明する。

補題

 

証明
q は奇数だから

 

が成り立つ。ところでこの左辺は

 

が成り立つ正の整数 x の個数であるのに対し、右辺は

 

が成り立つ整数 x の個数である。これは

 

より、  に一致する。


ガウスの補題の変形において、和を  に分割し、後者に対して先程の補題を用いると

 

となる。

 

かつ   は奇数であるから、上記の和は

 

に一致する。ここから

 

が成り立つ。同様に、

 

が成り立つ。

ここで、

 

 

となる整数の組 (x , y ) の個数に一致する。 同様に

 

 

となる整数の組 (x , y ) の個数に一致する。 ここで

 

および

 

より、  

 

となる整数の組 (x , y ) の個数に一致する。ところで p, q は相異なる素数なので   のとき   は整数ではありえない。よって   の範囲にある整数の組と   の範囲にある整数の組を合わせると、重複することなく   の範囲にある整数の組全体と一致する。したがって

 

が成り立つ。これにより

 

が証明された。