初等物理学公式集

以下に、日本の物理学教育において大学入学程度の水準までで用いられる、主な公式をジャンルごとに分けて記しておく。

古典力学

速度・加速度

• 速度
  • 距離 x (m) を経過時間 t (s) で等速直線運動する物体の速さ v (m/s)

  $v={\frac {x}{t}}$

  • 時刻 t (s) における変位 x (m) の物体の平均の速さ ${\bar {v}}$ (m/s)

  ${\bar {v}}={\Delta x \over \Delta t}={{x_{2}-x_{1}} \over {t_{2}-t_{1}}}$

  • 時刻 t (s) における変位 x (m) の物体の瞬間の速さ $v$ (m/s)

  $v={\frac {dx}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta x \over \Delta t}=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{{x_{2}-x_{1}} \over {t_{2}-t_{1}}}$

• 加速度
  • 経過時間 $\Delta t$ (s) の間の速度の変化 $\Delta v$ (m/s) の物体の平均の加速度 ${\bar {a}}$ (m/s²)

  ${\bar {a}}={\Delta v \over \Delta t}={{v_{2}-v_{1}} \over {t_{2}-t_{1}}}$

  • 経過時間 $\Delta t$ (s) の間の速度の変化 $\Delta v$ (m/s) の物体の瞬間の加速度 $a$ (m/s²)

  $a={\frac {dv}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta v \over \Delta t}=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{{v_{2}-v_{1}} \over {t_{2}-t_{1}}}$

• 等加速度直線運動
  • 一定の加速度 a (m/s²) で加速する初速度 v₀ (m/s) の物体の時刻 t (s) における速度 v (m/s) と変位 x (m)

  $v=\int a\,dt=v_{0}+at$

  $x=\int v\,dt=v_{0}t+{1 \over 2}at^{2}$

  $v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$

運動方程式

$ma=F$

摩擦力

• 静止摩擦係数 $\mu$、垂直抗力 N の物体にはたらく最大静止摩擦力 F_max

$F_{\mathbf {max} }=\mu N$

• 動摩擦係数 $\mu '$、垂直抗力 N の物体にはたらく動摩擦力 $F'$

$F'=\mu 'N$

• 摩擦角 $\theta$ のときの静止摩擦係数 $\mu$

$\mu =\tan \theta$

浮力

• 大気圧をp₀として密度ρの水中で深さhの位置にある物体が受ける水圧

  $p=p_{0}+\rho gh$

• 体積Vの物体が密度ρの水中で受ける浮力

  $F=\rho Vg$（アルキメデスの原理）

コリオリの力

• 速度 ${\vec {v}}$、角速度 $\omega$ で回転運動する質量 m の物体にはたらくコリオリの力 ${\vec {F}}$

${\vec {F}}=2m{\vec {v}}\omega$

剛体

• $M=Fl$（力のモーメント）
• $(x_{G},y_{G},z_{G})=(\sum _{k}{\frac {m_{k}x_{k}}{x_{k}}},\sum _{k}{\frac {m_{k}y_{k}}{y_{k}}},\sum _{k}{\frac {m_{k}z_{k}}{z_{k}}})$（重心）

ケプラーの法則

• 惑星の公転周期 T、長半径 a

$T^{2}=ka^{3}\Leftrightarrow {T^{2} \over a^{3}}=k$（第三法則）

万有引力の法則

• 質量 M, m、距離 r の物体間にはたらく万有引力 F

$F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}$（G は万有引力定数）

• 重力場

$\left\{{\begin{matrix}g&=&G{m \over r^{2}}\\F&=&mg\end{matrix}}\right.$

• 重力質量と慣性質量の等価性

${\mathbf {}}a=g$

• 落下

$\left\{{\begin{matrix}x&=&v_{x0}t+x_{0}\\y&=&{1 \over 2}gt^{2}+v_{y0}t+y_{0}\end{matrix}}\right.$

${\mathbf {}}v=gt+v_{0}$

• 空気抵抗の比例定数をkとしたときの終端速度

  $v_{f}={\frac {mg}{k}}$

• 位置エネルギー

${\mathbf {}}E_{\phi }=-{\frac {GMm}{r}}$

• 第一宇宙速度

7.91 km/s

• 第二宇宙速度

11.2 km/s

• 第三宇宙速度

16.7 km/s

等速円運動

1. • $\left\{{\begin{matrix}x=r\cos \omega t\\y=r\sin \omega t\end{matrix}}\right.$
   • ${\mathbf {}}v=r\omega$
   • ${\mathbf {}}a=r\omega ^{2}$
   • $T={2\pi \over \omega }$（周期）
   • ${\mathbf {}}F=-kx$（弾性力）
   • $E={1 \over 2}kx^{2}$（弾性エネルギー）
   • $\omega ={\sqrt {k \over m}}$（単振動の角速度）
   • $f={\frac {1}{T}}$（単振動の振動数）
   • $x=A\sin \omega t$（単振動の変位）
   • $\omega \simeq {\sqrt {g \over l}}$（単振り子の角速度）

• 角速度 $\omega$ で回転運動する質量 m の物体が回転の中心から ${\vec {r}}$ の位置にあるときの遠心力 ${\vec {F}}$

${\vec {F}}=m{\vec {r}}\omega ^{2}$

力学的保存量

1. • ${\mathbf {}}{\vec {p}}=m{\vec {v}}$(運動量)
   • $m\Delta |{\vec {v}}|=f\Delta t$（力積）
   • $\sum _{i}{m_{i}v_{i} \over dt}=0$（運動量保存）
   • $E_{v}={1 \over 2}mv^{2}$（運動エネルギー）
   • $\sum _{i}{E_{vi}+E_{\phi i} \over dt}=0$（力学的エネルギー保存則）
   • $e=-{\frac {v'_{1}-v'_{2}}{v_{1}-v_{2}}}$（反撥係数）
   • $E={\vec {F}}\cdot {\vec {x}}=|{\vec {F}}||{\vec {x}}|\cos \theta$（仕事）
   • $P={dE \over dt}$（仕事率、ワット）

熱力学

熱力学

以下、理想気体の場合を想定する。

• 気体の圧力

$P={F \over S}$

• 気体の仕事

${\mathbf {}}E=P\Delta V$

• アボガドロ数

$N_{0}=6.02214076\times 10^{23}$

• 気体定数

$R=8.31$kJ/(mol・K)

• ボルツマン定数

$k={\frac {R}{N_{0}}}=1.38\times 10^{-23}$J/K

• 気体の状態方程式

${\mathbf {}}PV=nRT$

• 単原子分子理想気体の内部エネルギー

$U={3 \over 2}nRT$

• 分圧と全圧の関係式

$P=\sum _{i}P_{i}=\sum _{i}{n_{i}RT \over V}$

• 運動エネルギーと熱エネルギー

${\frac {1}{2}}m{\bar {v^{2}}}={\frac {3}{2}}kT$

熱量と熱機関

• 比熱

${dQ \over dT}=mc$

• 比熱比

$\gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}$

• 気体のモル比熱

${dQ \over ndT}=C$

• 熱エネルギー保存

${\mathbf {}}\Delta Q=\Delta U+\Delta W$

• 定圧モル比熱と定積モル比熱の差

${\mathbf {}}C_{P}-C_{V}=R$（マイヤーの関係式）

• 変換熱量とP-V図の面積

$\Delta Q=\int \Delta P(V)dV$

• 閉じた系の内部エネルギー変化

$\Delta U=\delta Q-\delta W$（熱力学第一法則）

• ポアソンの法則

$pV^{\gamma }=const.$

• 熱効率

$e={\frac {W}{Q}}={\frac {Q_{in}-Q_{out}}{Q_{in}}}$

• 熱力学第二法則

$e\neq 1$

波動力学

• 横波: 振動方向と進行方向が直交
• 縦波: 振動方向と進行方向が同じ

• 波形の公式

${\mathbf {}}y=A\sin\{2\pi ({\frac {t}{T}}-{\frac {x}{\lambda }})+\phi \}$

• 振動数を f (Hz)、周期を T (s) とすると:

$f={1 \over T}$

• 振動数 f (Hz)、波長 λ (m) のときの波の速さ v (m/s)

$v=f\lambda ={\lambda \over T}$

• 重ね合わせの原理

$Y=y_{1}+y_{2}$

• 干渉による強め合い

$|l_{1}-l_{2}|=m\lambda$

• 干渉による弱め合い

$|l_{1}-l_{2}|=\left(m+{1 \over 2}\right)\lambda$

• 入射角を i (rad)、入射波の速さと波長を v_i (m/s)、λ_i (m)、屈折角を r (rad)、屈折波の速さと波長を v_r (m/s)、λ_r (m) としたときの屈折率 n

${\frac {\sin i}{\sin r}}={\frac {v_{i}}{v_{r}}}={\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{r}}}=n$（スネルの法則、屈折の法則）

• 波の速さ V (m/s)、観測者の速さ v_o (m/s) (近づくとき正)、音源の速さ v_s (m/s) (近づくとき正)、元の周波数 f (Hz) としたときに観測される周波数 f' (Hz)

$f'={\frac {V-v_{o}}{V-v_{s}}}f$

音の場合

• うなり振動数

$f={\begin{vmatrix}f_{1}-f_{2}\end{vmatrix}}$

• 弦、両閉、両開気柱の振動

$\lambda _{n}={2l \over n}$

• 片開気柱の振動

$\lambda _{n}={4l \over 2n-1}$

• 弦の振動周波数

$f\propto {\sqrt {F \over \rho }}$

光の場合

• 真空中の光速（定義値）

$c=299\,792\,458\,{\rm {{m/s}\approx 3.0\times 10^{8}\,{\rm {m/s}}}}$

• 絶対屈折率

$n={c \over v}$

• 全反射の条件

${\mathbf {}}\sin \theta _{c}>n_{12}$

• 光路長

$L=nl$

• 強めあう回折条件(波長ズレなし)

${\mathbf {}}d\sin \theta =m\lambda$

• 弱めあう回折条件(波長ズレなし)

$d\sin \theta =\left(m+{1 \over 2}\right)\lambda$

• レンズと鏡

${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {1}{f}}$（写像公式）

$m=|{\frac {b}{a}}|$（倍率）

電気回路

• 電流の強さ I (A)、電圧 V (V)、抵抗 R (Ω)

  $I={V \over R}\Leftrightarrow V=RI\Leftrightarrow R={V \over I}$（オームの法則）

• $\left\{{\begin{matrix}\sum _{i}I_{i}=0\\\sum _{i}V_{i}=0\end{matrix}}\right.$（キルヒホッフの法則）
• 電気抵抗
• $R=\rho {l \over S}$（形状と抵抗値）
• ${\mathbf {}}R=\sum _{i}R_{i}$（直列接続の合成則）
• ${1 \over R}=\sum _{i}{1 \over R_{i}}$（並列接続の合成則）
• $R_{1}R_{4}=R_{2}R_{3}\Leftrightarrow {R_{1} \over R_{3}}V={R_{2} \over R_{4}}V$（ホイートストンブリッジの平衡条件）
• $P=I^{2}R=VI={V^{2} \over R}$（消費電力）
• ${\mathbf {}}E=Pt=VIt$（ジュールの法則）

コンデンサ

• ${\mathbf {}}Q=CV$（コンデンサの電気容量）
• $W={1 \over 2}CV^{2}$(コンデンサのエネルギー)
• $C=\varepsilon {S \over d}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}{S \over d}$（平板コンデンサの容量）
• ${1 \over C}=\sum _{i}{1 \over C_{i}}$（直列接続の合成則）
• $C=\sum _{i}C_{i}$（並列接続の合成則）
• ${\mathbf {}}P=0$（コンデンサの消費電力）

コイル

• ${\mathbf {}}L=\sum _{i}L_{i}$（直列接続の合成則）
• ${\mathbf {}}{1 \over L}=\sum _{i}{1 \over L_{i}}$（並列接続の合成則）
• ${\mathbf {}}P=0$（コイルの消費電力）

交流回路

• ${\mathbf {}}V(t)=V_{max}\sin \omega t$（交流波形）
• $V_{e}={1 \over {\sqrt {2}}}V_{max}$（実効電圧）
• $I_{e}={1 \over {\sqrt {2}}}I_{max}$（実効電流）
• $R_{C}={1 \over \omega C}$（容量リアクタンス）
• ${\mathbf {}}R_{L}=\omega L$（誘導リアクタンス）
• $Z={\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{1 \over \omega C}\right)^{2}}}$（直列合成インピーダンス）
• $Z={\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{R^{2}}}+(\omega C-{\frac {1}{\omega L}})^{2}}}}$（並列合成インピーダンス）
• ${\bar {P}}=RI_{e}^{2}=I_{e}V_{e}\cos \phi$（力率）
• ${\overline {V}}=Z{\overline {I}}$
• $V_{2}={n_{2} \over n_{1}}V_{1}$（変圧トランス）
• $I_{2}={n_{1} \over n_{2}}I_{1}$
• $\omega ={1 \over {\sqrt {LC}}}$（LC回路の共振条件）

電磁気学

静電気・電界（電場）

• 電気量 q₁ (C) と q₂ (C) の点電荷間の距離を r (m)、誘電率を ε (F/m) とするときに働く静電気力 F (N)

  $F={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$（クーロンの法則）

• 電場

$E=k_{0}{\frac {q}{r^{2}}}$

${\vec {F}}=q{\vec {E}}$

• 一様な電場で生じる電位

${\mathbf {}}V=Ed$

• 電気的位置エネルギー

${\mathbf {}}W_{\phi }=qV$

• 電流と電荷の関係

$I={\frac {\Delta Q}{\Delta t}}$

磁界（磁場）

• $F=k'_{0}{m_{1}m_{2} \over r^{2}}={1 \over 4\pi \mu _{0}}{m_{1}m_{2} \over r^{2}}$（磁気のクーロンの法則）
• $\left\{{\begin{matrix}H&=&k_{0}{m \over r^{2}}\\F&=&mH\end{matrix}}\right.$（磁場）
• ${\vec {H}}={{\vec {I}}\times {\vec {r}} \over 2\pi r}$（線電流の作る磁場）
• $H={I \over 2r}$（円電流の作る磁場）
• $H=nI$（ソレノイドの作る磁場）
• ${\mathbf {}}{\vec {B}}=\mu {\vec {H}}=\mu _{0}\mu _{r}{\vec {H}}$（磁束密度）
• ${\mathbf {}}{\vec {F}}=q{\vec {v}}\times {\vec {B}}=q|{\vec {v}}||{\vec {B}}|\sin \theta$（ローレンツ力）
• ${\mathbf {}}{\vec {F}}={\vec {I}}\times {\vec {B}}l=l|{\vec {I}}||{\vec {B}}|\sin \theta$（フレミングの法則、アンペール力）
• $V=-L{\frac {dI}{dt}}$（自己誘導）
• $V=-M{\frac {dI}{dt}}$（相互誘導）

電磁誘導

• ${\mathbf {}}\Phi =|{\vec {B}}|S$（磁束）
• $V=-n{d\Phi \over dt}$（ファラデーの法則）
• ${\mathbf {}}{\vec {V}}=l{\vec {v}}\times {\vec {B}}=l|{\vec {B}}||{\vec {v}}|\sin \theta$（誘導起電力）

量子力学

• プランク定数

$h=6.63\times 10^{-34}$ J・s

• プランク定数 h、位置の不確かさ $\Delta x$、運動量の不確かさ $\Delta p$

$\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$（不確定性原理）

• ${\mathbf {}}E_{0}=mc^{2}$（質量エネルギー）

原子核物理学

• ${\mathbf {}}E=\ h\nu -W_{0}$（光電効果）
• ${\mathbf {}}E=\ h\nu$（光子のエネルギー）
• $p={h \over \lambda }={h\nu \over c}$（光子の運動量）
• $\lambda ={h \over p}={h \over mv}$ （ド・ブロイ波長）
• $\lambda _{0}={\frac {hc}{eV}}$（X線の最短波長）
• $2d\sin \theta =n\lambda$（ブラッグの条件）
• $2\pi r=n\lambda$（量子条件）
• $\Delta E_{n}=h\nu$（振動数条件）
• $r={\frac {h^{2}}{4\pi ^{2}k_{0}me^{2}}}n^{2}$（電子軌道半径）
• $E_{n}=-{\frac {2\pi ^{2}k_{0}^{2}me^{4}}{h^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}=-{\frac {Rch}{n^{2}}}$（エネルギー準位）
• ${\frac {1}{\lambda }}=R({\frac {1}{n'^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}})$（線スペクトル）

• α崩壊: ヘリウム核（陽子2、中性子2）を放出
• β⁻崩壊: 中性子が陽子と電子に崩壊し電子を放出
• γ崩壊: きわめてエネルギーの高い光子を放出
• 核分裂: 原子核が二個以上の部分に分解しエネルギーを放出
• 核融合: 二個軽い原子核が融合しエネルギーを放出