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ある線型変換 に対して、 のような元が見つかれば、この線型変換は扱いやすくなる。このページでは、このような(固有値・固有ベクトル)について議論をする。

注意 ここから先の議論はすべて複素数体 上の議論である。


はじめに編集

本題に入る前にまず次の定理を認めてもらいたい。

定理(代数学の基本定理)

複素数係数の任意のn次多項式

 

は重複度も含めてn個の複素数の根を持つ。

証明は別の本を参照のこと。

固有値・固有ベクトル編集

まず、このページの初めに書いたことを正確に定義しよう。

定義

  上の線型空間、  とする。

このとき、 

 

の関係をみたすとき、 固有値 固有ベクトルという。


では、どのようにして固有値や固有ベクトルを求めたらよいだろうか? まずは、 の線型変換である行列について考えてみよう。

行列の場合編集

  に対して、  が固有値であるとする。このとき、

 

をみたす、  が存在する。

上の式を書き直すと、   であるから、  の階数がnより小さいということと同値である。

つまり、  でなければならない。

以上をまとめると、

  が固有値   が非自明な解をもつ。  

したがって、  の解が固有値である。ここでこの方程式に名前をつけよう。

固有多項式編集

定義  に対して

 

 固有多項式という。また、  を固有値  重複度という。

2番目の等式は代数学の基本定理より成り立つ。


次に、固有空間を以下のように定義する。

固有空間編集

定義    に対する固有空間とは

 

で表わされる部分空間のことである。


この定義から明らかなように、   が固有値    でない元を持ち、それらはすべて固有ベクトル

である。

一般の線型変換の場合編集

  上の線型空間、   の基底、  に対して   は固有値であるとする。

また、  に対する   の表現行列を   とする。

このとき、行列の場合と同様に、

 

を充たす  が存在する。  の恒等変換を   とすると、

 

と変形できる。これは、  と同値である。  の表現行列は   であるから、  

以上より、  の固有値は  の固有多項式の根であることがわかる。

また、正則行列  に対して

 

より、固有多項式は  の基底の取り方によらない。

固有空間編集

固有空間も行列の場合と同様に定義される。

定義    に対する固有空間とは

 

で表わされる部分空間のことである。

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