制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/ある思いつき

§1

まず 1 階の微分方程式

{\frac {dx}{dt}}+ax=f(t)

を解くことを考えよう．ここに $a$ は定数とする．いま，

(1.1)

p:={\frac {d}{dt}}

^[1]

とおくと，式(1.1)は，

px+ax=f(t)

すなわち

(p+a)x=f(t)

と書くことことができる．ここで $p$ を普通の数のように考えることができるものと仮定して， $p+a$ で割ると，

x={\frac {f(t)}{p+a}}

となる．そこでなんらかの方法で割り算が実行できて，簡単に解が求まれば好都合である．しばらく厳密な論理性の追求はあとまわしにし，正しい解が得られればよいと割り切って，自由奔放に考えていこう．

例1 $\quad$

(1.2)

{\frac {dx}{dt}}+x=t^{2}+3t

この場合， $p$ を用いて $x$ を表すと，

x={\frac {t^{2}+3t}{p+1}}

となる． $p$ が微分であることを念頭において，小学校以来おなじみの割り算を筆算で実行しよう．

${\begin{array}{lcl}&&t^{2}&t&-1\\\hline 1+p&)&t^{2}&3t&\\&&t^{2}&2t&\\\hline &&&t&\\&&&t&+1\\\hline &&&&-1\\&&&&-1\\\hline &&&&0\\\end{array}}$

(t^{2}+3t)/(1+p)=(t^{2}+t-1)\cdots \cdots 0

と割り切れ，商

(1.3)

x=t^{2}+t-1

を得る．上の割り算の手順は次の通りである．まず $t^{2}$ を $1$ で割ると $t^{2}$ が立つ．そこで， $t^{2}$ に $1+p$ をかけて，

(1+p)t^{2}=t^{2}+2t

と計算する． $p$ は微分だから、 $p\cdot t^{2}=2t$ ．被除数 $t^{2}+3t$ から上式をを引くと，

(t^{2}+3t)-(t^{2}+2t)=t

となる．次に $t$ を $1$ で割ると $t$ が立つ．これに $(1+p)$ をかけ， $t+1$ を得る． $t$ からこれを引いて $-1$ を得る． $\cdots$ という通常の手順に従えばよいのである．このようにして求めた商，式(1.3)が式(1.2)の解である保証はない．それゆえ吟味が必要である．

x=t^{2}+t-1

x'=2t+1

x+x'=t^{2}+3t

よって間違いなく，式(1.2)の解である．初期値は $x(0)=-1$ となっている．

例2 $\quad$

2{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+3{\frac {dx}{dt}}+x=t^{3}+9t^{2}

を上の方法で解き，それが解であることを確かめよ．

解答例 $\quad$

${\begin{array}{lcl}&&t^{3}&&-12t&+36\\\hline 1+3p+2p^{2}&)&t^{3}&+9t^{2}&\\&&t^{3}&+9t&+12t\\\hline &&&&-12t\\&&&&-12t&-36\\\hline &&&&&+36\\&&&&&+36\\\hline &&&&&0\\\end{array}}$

$(t^{3}+9t^{2})/(1+3p+2p^{2})=t^{3}\cdots \cdots -12t$

$-12t/(1+3p+2p^{2})=-12t\cdots \cdots 36$

$36/(1+3p+2p^{2})=36\cdots \cdots 0$

$\therefore x=t^{3}-12t+36$

次に検算を実施する。
$x=t^{3}-12t+36$ のとき、

x'=3t^{2}-12

x''=6t

\therefore 2x''+3x'+x=2\cdot 6t+3(3t^{2}-12)+(t^{3}-12t+36)

={\cancel {12t}}+9t^{2}{\cancel {-36}}+t^{3}{\cancel {-12t}}+{\cancel {36}}

=t^{3}+9t^{2}

すなわち $x=t^{3}-12t+36$
は
$2{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+3{\frac {dx}{dt}}+x=t^{3}+9t^{2}$
の解のひとつ．

§2

例1では，除数が $1+p$ であった．定数 $1$ があるため，割り算が簡単になった．そこで定数項の欠けた次の例を考えてみよう．

例3 $\quad$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dx}{dt}}=t^{2}+3t

$p={\frac {d}{dt}},\quad p^{2}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}$ とおけば，

(p^{2}+p)x=t^{2}+3t

となるから，割り算を実行すると，

${\begin{array}{lcl}&&{\frac {t^{3}}{3}}&{\frac {t^{2}}{2}}&-t\\\hline p+p^{2}&)&t^{2}&3t&\\&&t^{2}&2t&\\\hline &&&t&\\&&&t&\ 1\\\hline &&&&-1\\&&&&-1\\\hline &&&&\ \ 0\\\end{array}}$

$(t^{2}+3t)/(p+p^{2})={\frac {t^{3}}{3}}\cdots \cdots t$

$t/(p+p^{2})={\frac {t^{2}}{2}}\cdots \cdots -1$

$-1/(p+p^{2})=-t\cdots \cdots 0$

$x={\frac {t^{3}}{3}}+{\frac {t^{2}}{2}}-t$

となる．手順は次のとおりである． $t^{2}$ を $p$ で割るというのは， $p$ を掛けると $t^{2}$ となる式を求めるということであるから， $p$ が微分演算であることを思い出すと，答えとして ${\frac {t^{3}}{3}}$ を得る．次に，

(p+p^{2}){\frac {t^{3}}{3}}=t^{2}+2t

を被除数 $t^{2}+3t$ から引き， $t$ を得る． $t$ を $p$ で割ると，上と同様に考えて， ${\frac {t^{2}}{2}}$ となる．以下同様．

験算

x={\frac {t^{3}}{3}}+{\frac {t^{2}}{2}}-t

x'=t^{2}+t-1

x''=2t+1

x'+x''=t^{2}+3t

今度もうまくいった．初期値は $x(0)=0,x'(0)=-1$ である．

§3

例3の計算の中で， $p$ で割るという演算を抜き出してみると，

{\frac {1}{p}}\cdot t^{2}={\frac {t^{3}}{3}}

{\frac {1}{p}}\cdot t={\frac {t^{2}}{2}}

\cdots \cdots

である．これらの事実から次のことが分かる． $p$ で割るということは，積分する（あるいは原始関数を求める）ということにほかならぬ．つまり，

(1.4)

{\frac {1}{p}}:=\int dt

を意味することが分かる．

このことを念頭において，例3の計算を次のように少し修正してみよう．積分を先にすませておくのである．

x={\frac {t^{2}+3t}{p+p^{2}}}={\frac {1}{1+p}}\left\{{\frac {1}{p}}(t^{2}+3t)\right\}

={\frac {1}{1+p}}\cdot \left\{{\frac {t^{3}}{3}}+{\frac {3t^{2}}{2}}\right\}

と変形しておいてから，割り算を実行する．

${\begin{array}{lcl}&&{\frac {t^{3}}{3}}&{\frac {t^{2}}{2}}&-t&\ \ 1\\\hline 1+p&)&{\frac {t^{3}}{3}}&{\frac {3t^{2}}{2}}&&\\&&t^{2}&t^{2}&&\\\hline &&&{\frac {t^{2}}{2}}&&\\&&&{\frac {t^{2}}{2}}&\ \ t&\\\hline &&&&-t&\\&&&&-t&-1\\\hline &&&&&\ \ \ 1\\&&&&&\ \ \ 1\\\hline &&&&&\ \ \ 0\end{array}}$