例95
(i) (安定な解)
(ii) (不安定な解)
(iii) (安定限界となる解)
さて式 (4.13) の特性方程式を とし,
をその根とすると,
なる根がある.
であるから,
となる.上から は安定,不安定,安定限界であることが分かる.一般の解は,
のような解の 1 次結合から成り立っている.したがって,この解の安定,不安定を調べればよい.
であるから なら,この解は とともに発散する.また なら,
なる負の実数 が存在し,この に対して,
(4.13b)
[2]
であるから,
となる.よって に留意すれば,
を得る.それゆえ,次の結果が得られた.
定理 4.1(安定定理)
式 (4.13) の特性方程式 の根 の実数部の最大なるものを とする.すなわち,
とするとき,微分方程式 (4.13) は,
なら,安定
なら不安定
である.また,
ならば,
(i)
が
の単根のとき,安定限界
(ii)
が
の重根のとき,不安定
である.
証明
前半の安定・不安定の部分の証明はすでに与えた.後半の単根の場合も終わっている.
重根の場合は, とすると[3],
であるから,この解は発散する.よって不安定である.
この定理から,安定・不安定の判別は, の根の,複素平面 ( 平面)上における配置によって決まることが分かる.
安定 根がすべて左半面にあるとき
不安定 少なくとも 1 根が右半面に存在するか,あるいは右半面には存在しないが,虚軸上に重根があるとき
安定限界 虚軸上の根は単根で、他はすべて左半面にあるとき
とまとめることができる.
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…①で
とおく.
今, が①の解であるとき,
より
より .
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さらに