制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/行列表示と解法

(1)編集

前章までで取り扱った単独高階の微分方程式,

(5.9)
 

は,次のような変数を選べば,連立微分方程式とみなすことができる.すなわち,

 

とおけば,

 

となり,また初期条件は,

 

となる.

そこで,この節では,もう少し一般化した定数係数の連立 1 階線形微分方程式,

(5.10)
 

および初期条件

 

を取り扱うことにする.ここで,

 

および,

 

とおけば,式 (5.10) と初期条件は,

(5.11)
 

と簡潔に表示できる.ここに,

 

である.


(2)編集

ここで少し記号の約束をしておこう. 関数を成分とする行列,

 

に対して,この行列の微分あるいは積分を,その成分の微分あるいは積分を成分とする行列と定義する.すなわち,

 

あるいは,

 

と約束する.この約束に従えば,

 


 


は必然である[1]. また   を関数を成分とする行列とし,積   が定義できるものとすれば,

(5.11a)
 
(5.11b)
 

などは明らかであろう.

例114 

式 (5.11a), 式 (5.11b) を示せ.

解答例

(1) 式 (5.11a)の証明.
行列   の第   行第   列成分を  , これと並行に成分の表示方法として,行列   の各成分を   と表示するものとすると,

 

よって,

 
 
 
 
 

以上により式 (5.11a)の証明が完了する.


(2)式 (5.11b)の証明.

 

 

ここで   より,

 

 

 

 

  1. ^
     

    また,  とおけば,

     

     

    両辺に左から   を働かせて,

     

     


したがって,

(5.12)
 
(5.13)
 

などの計算が許される.ただし 式 (5.13)   は定数行列とする. たとえば式 (5.12) の証明は次のとおりである。

 

と略記すると,

 

ただ定義に従って変形していくだけでよい[1]


  1. ^ 式 (5.13) の証明は次のとおり.
    まず,   行 1 列のベクトルになることに注意して,
    上述のとおり,行列   の各成分を   と,また,ベクトル   の第   成分を   と表記するものとすると,
     .…①
     
     
     
     ①.
     

(3)編集

さて以上の準備の下に,

 

は次のように解くことができる. この式を Laplace 変換すると,

 

すなわち,

 

となる.ここに    次の単位行列である.    の逆行列とすれば,

 

となる.いま,

(5.14)
 

とおけば,

(5.14b)
 

となる.以上は例題を通して考察したことの繰り返しに過ぎない. これからわかるように,連立微分方程式を解くことの中心は式 (5.14) を計算することである.