制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/行列表示と解法

(1)

前章までで取り扱った単独高階の微分方程式，

(5.9)

${\begin{cases}{\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+a_{2}{\frac {d^{n-2}x}{dt^{n-2}}}+\cdots +a_{n-1}{\frac {dx}{dt}}+a_{n}x=f(t)\\x(0)=\xi _{1},\quad x'(0)=\xi _{2},\cdots ,x^{(n-1)}(0)=\xi _{n}\end{cases}}$

は，次のような変数を選べば，連立微分方程式とみなすことができる．すなわち，

$x_{1}=x,\quad x_{2}:=x',\quad x_{3}:=x'',\cdots ,x_{n}=x^{(n-1)}$

とおけば，

${\begin{cases}{\frac {dx_{1}}{dt}}=x_{2}\\{\frac {dx_{2}}{dt}}=x_{3}\\{\frac {dx_{3}}{dt}}=x_{4}\\\vdots \\{\frac {dx_{n-1}}{dt}}=x_{n}\\{\frac {dx_{n}}{dt}}=-a_{n}x_{1}-a_{n-1}x_{2}-a_{n-2}x_{3}-\cdots -a_{2}x_{n-1}-a_{1}x_{n}+f(t)\end{cases}}$

となり，また初期条件は，

$x_{1}(0)=\xi _{1},\quad x_{2}(0)=\xi _{2},\quad x_{3}(0)=\xi _{3},\cdots ,x_{n}(0)=\xi _{n}$

となる．

そこで，この節では，もう少し一般化した定数係数の連立 1 階線形微分方程式，

(5.10)

${\begin{cases}{\frac {x_{1}}{dt}}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\cdots +a_{1(n-1)}x_{n-1}+a_{1n}x_{n}+f_{1}(t)\\{\frac {x_{2}}{dt}}=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+\cdots +a_{2(n-1)}x_{n-1}+a_{2n}x_{n}+f_{2}(t)\\{\frac {x_{3}}{dt}}=a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+\cdots +a_{3(n-1)}x_{n-1}+a_{3n}x_{n}+f_{3}(t)\\\vdots \\{\frac {x_{n}}{dt}}=a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+\cdots +a_{n(n-1)}x_{n-1}+a_{nn}x_{n}+f_{n}(t)\end{cases}}$

および初期条件

$x_{1}(0)=\xi _{1},\quad x_{2}(0)=\xi _{2},\quad x_{3}(0)=\xi _{3},\cdots ,x_{n}(0)=\xi _{n}$

を取り扱うことにする．ここで，

$A:={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots &a_{nn}\\\end{pmatrix}}$

および，

${\boldsymbol {x}}:={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {f}}={\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\\\vdots \\f_{n}\end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {\xi }}={\begin{pmatrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\\\xi _{3}\\\vdots \\\xi _{n}\end{pmatrix}}$

とおけば，式 (5.10) と初期条件は，

(5.11)

${\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}=A{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {f}},\quad {\boldsymbol {x}}(0)={\boldsymbol {\xi }}$

と簡潔に表示できる．ここに，

${\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}={\begin{pmatrix}{\frac {dx_{1}}{dt}}\\{\frac {dx_{2}}{dt}}\\{\frac {dx_{3}}{dt}}\\\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}\end{pmatrix}}$

である．

(2)

ここで少し記号の約束をしておこう． 関数を成分とする行列，

$B(t):={\begin{pmatrix}b_{11}(t)&b_{12}(t)&b_{13}(t)&\cdots &b_{1n}(t)\\b_{21}(t)&b_{22}(t)&b_{23}(t)&\cdots &b_{2n}(t)\\b_{31}(t)&b_{32}(t)&b_{33}(t)&\cdots &b_{3n}(t)\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\b_{m1}(t)&b_{m2}(t)&b_{m3}(t)&\cdots &b_{mn}(t)\end{pmatrix}}$

に対して，この行列の微分あるいは積分を，その成分の微分あるいは積分を成分とする行列と定義する．すなわち，

${\frac {dB(t)}{dt}}:={\begin{pmatrix}{\frac {db_{11}(t)}{dt}}&{\frac {db_{12}(t)}{dt}}&{\frac {db_{13}(t)}{dt}}&\cdots &{\frac {db_{1n}(t)}{dt}}\\{\frac {db_{21}(t)}{dt}}&{\frac {db_{22}(t)}{dt}}&{\frac {db_{23}(t)}{dt}}&\cdots &{\frac {db_{2n}(t)}{dt}}\\{\frac {db_{31}(t)}{dt}}&{\frac {db_{32}(t)}{dt}}&{\frac {db_{33}(t)}{dt}}&\cdots &{\frac {db_{3n}(t)}{dt}}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {db_{m1}(t)}{dt}}&{\frac {db_{m2}(t)}{dt}}&{\frac {db_{m3}(t)}{dt}}&\cdots &{\frac {db_{mn}(t)}{dt}}\end{pmatrix}}$

あるいは，

$\int _{a}^{b}B(t)dt:={\begin{pmatrix}\int _{a}^{b}b_{11}(t)dt&\int _{a}^{b}b_{12}(t)dt&\int _{a}^{b}b_{13}(t)dt&\cdots &\int _{a}^{b}b_{1n}(t)dt\\\int _{a}^{b}b_{21}(t)dt&\int _{a}^{b}b_{22}(t)dt&\int _{a}^{b}b_{23}(t)dt&\cdots &\int _{a}^{b}b_{2n}(t)dt\\\int _{a}^{b}b_{31}(t)dt&\int _{a}^{b}b_{32}(t)dt&\int _{a}^{b}b_{33}(t)dt&\cdots &\int _{a}^{b}b_{3n}(t)dt\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\\int _{a}^{b}b_{m1}(t)dt&\int _{a}^{b}b_{m2}(t)dt&\int _{a}^{b}b_{m3}(t)dt&\cdots &\int _{a}^{b}b_{mn}(t)dt\end{pmatrix}}$

と約束する．この約束に従えば，

${\mathcal {L}}[B(t)]:={\begin{pmatrix}{\mathcal {L}}[b_{11}(t)]&{\mathcal {L}}[b_{12}(t)]&{\mathcal {L}}[b_{13}(t)]&\cdots &{\mathcal {L}}[b_{1n}(t)]\\{\mathcal {L}}[b_{21}(t)]&{\mathcal {L}}[b_{22}(t)]&{\mathcal {L}}[b_{23}(t)]&\cdots &{\mathcal {L}}[b_{2n}(t)]\\{\mathcal {L}}[b_{31}(t)]&{\mathcal {L}}[b_{32}(t)]&{\mathcal {L}}[b_{33}(t)]&\cdots &{\mathcal {L}}[b_{3n}(t)]\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\{\mathcal {L}}[b_{m1}(t)]&{\mathcal {L}}[b_{m2}(t)]&{\mathcal {L}}[b_{m3}(t)]&\cdots &{\mathcal {L}}[b_{mn}(t)]\end{pmatrix}}$

${\mathcal {L}}^{-1}[B(t)]:={\begin{pmatrix}{\mathcal {L}}^{-1}[b_{11}(t)]&{\mathcal {L}}^{-1}[b_{12}(t)]&{\mathcal {L}}^{-1}[b_{13}(t)]&\cdots &{\mathcal {L}}^{-1}[b_{1n}(t)]\\{\mathcal {L}}^{-1}[b_{21}(t)]&{\mathcal {L}}^{-1}[b_{22}(t)]&{\mathcal {L}}^{-1}[b_{23}(t)]&\cdots &{\mathcal {L}}^{-1}[b_{2n}(t)]\\{\mathcal {L}}^{-1}[b_{31}(t)]&{\mathcal {L}}^{-1}[b_{32}(t)]&{\mathcal {L}}^{-1}[b_{33}(t)]&\cdots &{\mathcal {L}}^{-1}[b_{3n}(t)]\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\{\mathcal {L}}^{-1}[b_{m1}(t)]&{\mathcal {L}}^{-1}[b_{m2}(t)]&{\mathcal {L}}^{-1}[b_{m3}(t)]&\cdots &{\mathcal {L}}^{-1}[b_{mn}(t)]\end{pmatrix}}$

は必然である． また $A(t)$ を関数を成分とする行列とし，積 $A(t)\ B(t)$ が定義できるものとすれば，

(5.11a)

${\frac {dAB}{dt}}={\frac {dA}{dt}}B+A{\frac {dB}{dt}}$

(5.11b)

$\int _{a}^{b}{\frac {dB}{dt}}dt=B(b)-B(a)$

などは明らかであろう．

例114$\quad$

式 (5.11a), 式 (5.11b) を示せ．

解答例

(1) 式 (5.11a)の証明．
行列 $M$ の第 $i$ 行第 $j$ 列成分を $m_{ij}$， これと並行に成分の表示方法として，行列 $M$ の各成分を $(M)_{ij}$ と表示するものとすると，

$(AB)_{ij}=\sum _{k}a_{ik}b_{kj}$

よって，

$\left({\frac {d}{dt}}AB\right)_{ij}=\sum _{k}\left({\frac {d}{dt}}a_{ik}\cdot b_{kj}+a_{ik}\cdot {\frac {d}{dt}}b_{kj}\right)$

$=\sum _{k}{\frac {d\ a_{ik}}{dt}}b_{kj}+\sum _{k}a_{ik}{\frac {d\ b_{kj}}{dt}}$

$=\sum _{k}\left({\frac {dA}{dt}}\right)_{ik}\cdot b_{kj}+\sum _{k}a_{ik}\cdot \left({\frac {dB}{dt}}\right)_{kj}$

$=\left({\frac {dA}{dt}}B\right)_{ij}+\left(A{\frac {dB}{dt}}\right)_{ij}$

$=\left({\frac {dA}{dt}}B+A{\frac {dB}{dt}}\right)_{ij}$

以上により式 (5.11a)の証明が完了する．

(2)式 (5.11b)の証明．

$\int _{a}^{b}{\frac {dB}{dt}}dt=\int _{a}^{b}{\begin{pmatrix}{\frac {d}{dt}}b_{11}&\cdots &{\frac {d}{dt}}b_{1n}\\\vdots &&\vdots \\{\frac {d}{dt}}b_{m1}&\cdots &{\frac {d}{dt}}b_{mn}\end{pmatrix}}dt$

$={\begin{pmatrix}\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}b_{11}dt&\cdots &\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}b_{1n}dt\\\vdots &&\vdots \\\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}b_{m1}dt&\cdots &\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}b_{mn}dt\end{pmatrix}}$

ここで $\int _{a}^{b}{\frac {df}{dt}}dt=f(b)-f(a)$ より，

$\int _{a}^{b}{\frac {dB}{dt}}dt={\begin{pmatrix}b_{11}(b)-b_{11}(a)&\cdots &b_{1n}(b)-b_{1n}(a)\\\vdots &&\vdots \\b_{m1}(b)-b_{m1}(a)&\cdots &b_{mn}(b)-b_{mn}(a)\end{pmatrix}}$

$={\begin{pmatrix}b_{11}(b)&\cdots &b_{1n}(b)\\\vdots &&\vdots \\b_{m1}(b)&\cdots &b_{mn}(b)\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}b_{11}(a)&\cdots &b_{1n}(a)\\\vdots &&\vdots \\b_{m1}(a)&\cdots &b_{mn}(a)\end{pmatrix}}$

$=B(b)-B(a)$

$\diamondsuit$

したがって，

(5.12)

${\mathcal {L}}\left[{\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}]-{\boldsymbol {x}}(0)$

(5.13)

${\mathcal {L}}[A{\boldsymbol {x}}]=A{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}]$

などの計算が許される．ただし 式 (5.13) の $A$ は定数行列とする． たとえば式 (5.12) の証明は次のとおりである。

${\boldsymbol {x}}=(x_{i})$

と略記すると，

${\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}']={\mathcal {L}}[(x_{i})']=({\mathcal {L}}[x_{i}'])=(s{\mathcal {L}}[x_{i}]-x_{i}(0))=s({\mathcal {L}}[x_{i}])-(x_{i}(0))=s{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}]-{\boldsymbol {x}}(0)$

ただ定義に従って変形していくだけでよい．

(3)

さて以上の準備の下に，

${\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}=A{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {f}}$

は次のように解くことができる． この式を Laplace 変換すると，

$s{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}]-{\boldsymbol {x}}(0)=A{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}]+{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {f}}]$

すなわち，

$(sI-A){\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}]={\boldsymbol {x}}(0)+{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {f}}]$

となる．ここに $I$ は $n$ 次の単位行列である． $(sI-A)^{-1}$ を $(sI-A)$ の逆行列とすれば，

${\mathcal {L}}[{\boldsymbol {x}}]=(sI-A)^{-1}{\boldsymbol {x}}(0)+(sI-A)^{-1}{\mathcal {L}}[{\boldsymbol {f}}]$

となる．いま，

(5.14)

$(sI-A)^{-1}\sqsubset {\mathit {\Phi }}$

とおけば，

(5.14b)

${\boldsymbol {x}}(t)={\mathit {\Phi }}(t){\boldsymbol {x}}(0)+\int _{0}^{t}{\mathit {\Phi }}(t-\tau ){\boldsymbol {f}}(\tau )d\tau$

となる．以上は例題を通して考察したことの繰り返しに過ぎない． これからわかるように，連立微分方程式を解くことの中心は式 (5.14) を計算することである．