制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/(sI-A)^-1の原像/Cayley-Hamilton の定理

いままでの議論から分かるように，線形定常な連立微分方程式の解法においては， $(sI-A)^{-1}$ の原像を求めることがすべてである．そのとき中心的な役割を果たすのが Cayley-Hamilton の定理である．よく知られているように， $sI-A$ の行列式を $A$ の固有多項式あるいは特性多項式という． $A$ が $n$ 次の行列ならば，それも $s$ の $n$ 次の多項式となる．いまそれを，

(5.15)

p(s):=\det(sI-A)=s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n-1}s+a_{n}

とおくことにしよう．このとき，

p(A)I=O

が成立する．これが Cayley-Hamilton の定理である．

定理 5. 1 (Cayley-Hamilton)

行列 $A$ の固有多項式を $p(s)$ とすると，

p(A)I=A^{n}+a_{1}A^{n-1}+a_{2}A^{n-2}+\cdots +a_{n-1}A+a_{n}I=O

が成立する．

証明

$sI-A$ の余因子行列を $B(s)$ とすると，

(5.16)

(sI-A)^{-1}={\frac {B(s)}{p(s)}}

と書ける． $B(s)$ の要素は高々 $n-1$ 次の $s$ の多項式であるので，

(5.17)

B(s)=B_{0}s^{n-1}+B_{1}s^{n-2}+B_{2}s^{n-3}+\cdots +B_{n-2}s+B_{n-1}

と表すことができる．これと式 (5.16) とから，

(5.18)

p(s)I=(sI-A)(B_{0}s^{n-1}+B_{1}s^{n-2}+B_{2}s^{n-3}+\cdots +B_{n-1})

とおいて^[1]，左右の $s$ のべきの係数を等置すると，

(5.19)

{\begin{cases}B_{0}=I\\B_{1}=AB_{0}+a_{1}I\\B_{2}=AB_{1}+a_{2}I\\\vdots \\B_{n-1}=AB_{n-2}+a_{n-1}I\\O=AB_{n-1}+a_{n}I\end{cases}}

を得る^[2]．これらの式から $B_{i}$ を消去すれば，

p(A)I=O

が得られる．

$\diamondsuit$

式 (5.19) から $B_{i}$ を消去する方法は，上から順に $A^{n},A^{n-1},A^{n-2},\cdots A^{2},A,I$ を掛けて，それらをすべて加えればよい^[3]．

^ 式 (5.16) の両辺に $p(s)(sI-A)$ を左から掛ける．
^ $p(s)I=(sI-A)(B_{0}s^{n-1}+B_{1}s^{n-2}+B_{2}s^{n-3}+\cdots +B_{n-2}s+B_{n-1})$
実際に展開すると、

$(s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n-1}s+a_{n})I=B_{0}s^{n}+B_{1}s^{n-1}+B_{2}s^{n-2}+\cdots +B_{n-2}s^{2}+B_{n-1}s$

$-AB_{0}s^{n-1}-AB_{1}s^{n-2}-\cdots -AB_{n-2}s-AB_{n-1}$

$=B_{0}s^{n}+(B_{1}-AB_{0})s^{n-1}+(B_{2}-AB_{1})s^{n-2}+\cdots +(B_{n-1}-AB_{n-2})s-AB_{n-1}$
$s^{i}(i=0\cdots n-1)$ の係数を比較して，

${\begin{cases}I&=&B_{0}\\a_{1}I&=&B_{1}-AB_{0}\\a_{2}I&=&B_{2}-AB_{1}\\\vdots \\a_{n-1}I&=&B_{n-1}-AB_{n-2}\\a_{n}I&=&-AB_{n-1}\end{cases}}$
したがって $AB_{i}$ の項を移項して
${\begin{cases}I&=&B_{0}\\AB_{0}+a_{1}I&=&B_{1}\\AB_{1}+a_{2}I&=&B_{2}\\\vdots \\AB_{n-2}+a_{n-1}I&=&B_{n-1}\\AB_{n-1}+a_{n}I&=&O\end{cases}}$
^ ${\begin{cases}{\cancel {\color {red}A^{n}B_{0}}}&=A^{n}\\{\cancel {\color {blue}A^{n-1}B_{1}}}&={\cancel {\color {red}A^{n}B_{0}}}&+a_{1}A^{n-1}\\{\cancel {\color {green}A^{n-2}B_{2}}}&={\cancel {\color {blue}A^{n-1}B_{1}}}&+a_{2}A^{n-2}\\{\cancel {\color {red}A^{n-3}B_{3}}}&={\cancel {\color {green}A^{n-2}B_{2}}}&+a_{3}A^{n-3}\\\quad \quad \vdots \\{\cancel {\color {blue}AB_{n-1}}}&={\cancel {\color {red}A^{2}B_{n-2}}}&+a_{n-1}A\\O&={\cancel {\color {blue}AB_{n-1}}}&+a_{n}I\end{cases}}$

もう一つの方法は上の段の結果を下の段に代入し， $B_{0},B_{1},B_{2},\cdots$ の順に逐次消去してもよい．この方法をまとめておこう．

{\begin{cases}p_{0}(s)=1\\p_{i+1}(s)=sp_{i}(s)+a_{i+1}\\(i=0,1,\cdots ,n-1)\end{cases}}

と逐次多項式 $p_{i}$ を定義すれば，

(5.20)

B_{i}=p_{i}(A)I

と書くことができる^[1]．ただし， $B_{0}=p_{0}(A)=I$ である．この結果より式 (5.18) は，

(5.21)

p(s)I=(sI-A)\{Is^{n-1}+p_{1}(A)s^{n-2}+p_{2}(A)s^{n-3}+\cdots +p_{n-2}(A)s+p_{n-1}(A)\}

となり，したがってまた，

(5.22)

(sI-A)^{-1}=\left\{I{\frac {s^{n-1}}{p(s)}}+p_{1}(A){\frac {s^{n-2}}{p(s)}}+p_{2}(A){\frac {s^{n-3}}{p(s)}}+\cdots +p_{n-2}(A){\frac {s}{p(s)}}+p_{n-1}(A)\cdot {\frac {1}{p(s)}}\right\}

を得る^[2]．

^ 式 (5.19) の $B_{i+1}$ を $p_{i+1}(s)$ ，したがって， $B_{i}$ を $p_{i}(s)$ ， $s$ を $A$ を置き換える． $B_{i}$ を $A$ で表現することから， $p_{i}(s)$ を $s$ の関数とし， $s$ に $A$ を代入する見通しである．
^ 式 (5.21) の両辺を $p(s)$ でわると，

$I=(sI-A)\left\{I{\frac {s^{n-1}}{p(s)}}+p_{1}(A){\frac {s^{n-2}}{p(s)}}+p_{2}(A){\frac {s^{n-3}}{p(s)}}+\cdots +p_{n-2}(A){\frac {s}{p(s)}}+p_{n-1}(A)\cdot {\frac {1}{p(s)}}\right\}$
すなわち

$(sI-A)^{-1}=I{\frac {s^{n-1}}{p(s)}}+p_{1}(A){\frac {s^{n-2}}{p(s)}}+p_{2}(A){\frac {s^{n-3}}{p(s)}}+\cdots +p_{n-2}(A){\frac {s}{p(s)}}+p_{n-1}(A)\cdot {\frac {1}{p(s)}}$

注意

式 (5.19) は受験数学でなじみ深い組立除法，

{\begin{array}{lcl}&I&a_{1}I&a_{2}I&a_{3}I&\cdots &a_{n-1}I&a_{n}I&|A\\+)&&AB_{0}&AB_{1}&AB_{2}&\cdots &AB_{n-2}&AB_{n-1}&\\\hline &B_{0}&B_{1}&B_{2}&B_{3}&\cdots &B_{n-1}&p(A)&\\\end{array}}

にほかならない． $p(A)$ は余りである．式 (5.18) を見ると $p(s)I$ が $(sI-A)$ で割り切れることを示している．よって剰余の定理より，

p(A)I=O

を得る．つまり， Cayley-Hamilton の定理は剰余の定理や因数定理と同じものである．それでは式 (5.18) の $s$ を $A$ とおいていきなり $p(A)I=O$ としてよいかという疑問が起きる．結論をいえばそれでよいのである．ただ注意しなければならないのは，式 (5.18) の等式は $s$ と $B_{i}$ と交換できることが前提になって成立している． $s$ にある行列を代入したとき，その行列と $B_{i}$ が交換可能のときのみ，左右の式が等しくなる．式 (5.20) から明らかなように， $A$ と $B_{i}$ とは交換可能である^[1]．それゆえ式 (5.18) に $A$ を代入して，この定理を証明してもよい．しかし，この証明法に従うときには， $A$ と $B_{i}$ の交換可能性を前もって別に証明しておかねばならない．

^ $p_{1}(s)=sI+a_{1}I,\therefore B_{1}=p_{1}(A)=A+a_{1}I$ で $A^{n+1}=A\cdot A^{n}=A^{n}\cdot A$ であるから $B_{1}$ と $A$ は可換，
$p_{2}(s)=sp_{1}(s)+a_{2}I=s(sI+a_{1}I)+a_{2}I=s^{2}I+sa_{1}I+a_{2}I,\therefore B_{2}=A^{2}+a_{1}A+a_{2}I$ より，同様の理由で $B_{2}$ と $A$ は可換．
以下必要なだけ帰納的に続ければ $B_{i}$ と $A$ は可換であることがわかる．