制御と振動の数学/Laplace 変換/定積分の計算への応用/tの非整数べきのLaplace変換

すでに導いた公式

${\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}\sqsupset {\frac {1}{s^{n}}}$

において，$n$ を自然数から正の実数に拡張することを考えよう．そのため，階乗 $(n-1)!$ の拡張であるガンマ関数を導入する．

公式4

$\Gamma (\lambda ):=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{\lambda -1}dt\quad (\lambda >0)$

とおけば

$\Gamma (\lambda )=(\lambda -1)\Gamma (\lambda -1)$

$\Gamma (1)=1$

が成立する．$\Gamma (\lambda )$ をガンマ関数という．

証明

定義式に対して部分積分を実行する．

$\Gamma (\lambda )=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{\lambda -1}dt$

$={\bigg [}-e^{-t}t^{\lambda -1}{\bigg ]}_{0}^{\infty }+(\lambda -1)\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{\lambda -2}dt$

$=(\lambda -1)\Gamma (\lambda -1)$

また，

$\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=1$

$\diamondsuit$

この結果から，

$(n-1)!=\Gamma (n)$

であることが分かる．事実，

$\Gamma (n)=(n-1)\Gamma (n-1)$

$=(n-1)(n-2)\Gamma (n-2)$

$=(n-1)(n-2)(n-3)\Gamma (n-3)$

$=(n-1)(n-2)(n-3)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot \Gamma (1)$

$=(n-1)!$

このガンマ関数を用いれば，冒頭の公式は

${\frac {t^{n-1}}{\Gamma (n)}}\sqsupset {\frac {1}{s^{n}}}$

と書ける．この形式は $n$ を正の実数 $\lambda$ に変えてもそのまま成立する．

公式5

${\frac {t^{\lambda -1}}{\Gamma (\lambda )}}\sqsupset {\frac {1}{s^{\lambda }}}\quad (\lambda >0)$

特に，$\lambda ={\frac {1}{2}}$ のときは $\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$ で，

${\frac {1}{\sqrt {\pi t}}}\sqsupset {\frac {1}{\sqrt {s}}}\quad (s>0)$

となる．

証明

${\mathcal {L}}{\bigg [}{\frac {t^{\lambda -1}}{\Gamma (\lambda )}}{\bigg ]}={\frac {1}{\Gamma (\lambda )}}\int _{0}^{\infty }t^{\lambda -1}e^{-st}dt\quad (s>0)$

において，$\tau :=st$ とおくと，

${\mathcal {L}}{\bigg [}{\frac {t^{\lambda -1}}{\Gamma (\lambda )}}{\bigg ]}={\frac {1}{s^{\lambda }\Gamma (\lambda )}}\int _{0}^{\infty }\tau ^{\lambda -1}e^{-\tau }d\tau$

$={\frac {1}{s^{\lambda }\Gamma (\lambda )}}\cdot \Gamma (\lambda )={\frac {1}{s^{\lambda }}}$

また $\lambda ={\frac {1}{2}}$ のときは，

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{-{\frac {1}{2}}}dt$

において，$\tau :={\sqrt {t}}$ とおけば $t^{-{\frac {1}{2}}}dt=2d\tau$ であるから，

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=2\int _{0}^{\infty }e^{-\tau ^{2}}d\tau ={\sqrt {\pi }}$

$\diamondsuit$

いささか循環論法めくが，この公式を利用して，

$\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\quad (\alpha >0)$

を導こう．

$f(t):=\int _{0}^{\infty }e^{-tx^{2}}dx\quad (t>0)$

とおいて Laplace 変換すると，

${\mathcal {L}}[f]=\int _{0}^{\infty }{\mathcal {L}}[e^{-tx^{2}}]dx$

$=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{s+x^{2}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {s}}}}$

この原像は，

$f(t)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{t}}}\quad (t>0)$

$t=\alpha$ とおけば，求める公式が得られる．この誘導はインチキであるが，辻褄があっているという気休めにはなるであろう．

$\diamondsuit$