場の量子論

はじめに

量子場の理論は主に素粒子を扱うための理論である。一般に物理的なものは常に量子的な状態として記述されねばならず、粒子もその例外ではない。粒子は通常、真空と呼ばれる何もない状態の中に1つの粒子が現れた状態として記述される。このように粒子の存在を量子力学的に記述する方法として場の理論が知られている。

例えば、電磁気力を伝える光子は $A_{\mu }$ という4元ベクトルで書かれるが、光子自体も粒子であるのでこの記述法は粒子の存在を記述する手法を示唆していると考えられる。つまり、場という量は何らかの仕方で粒子の記述をしていると考えられ、逆に粒子を記述する手法として場の量を用いることが考えられる。

この項では、場の量を用いた粒子の記述法についてまとめる。

相対論的量子力学

スカラー場

スカラー場は、場の量子論において、最も基本的で単純な場の一つである。スカラー場とは、時空の各点に対して1つのスカラー量を割り当てる場のことで、通常、物理的にスピン0の粒子を記述するために用いられる。例えば、ヒッグス場はスカラー場の代表的な例であり、標準模型における自発的対称性の破れを引き起こす重要な役割を果たす。

クライン＝ゴルドン場

スカラー場を量子化する際の基本的な理論の一つがクライン＝ゴルドン方程式に基づく場の理論である。クライン＝ゴルドン方程式は、スカラー場 $\phi (x)$ が満たすべき運動方程式であり、次のように表される：

(\Box +m^{2})\phi (x)=0

ここで、 $\Box$ はダランベール演算子を表し、 $m$ は粒子の質量である。この方程式は、相対論的な質量を持つスピン0の粒子を記述するものであり、電荷を持たない中性のスカラー場を扱う場合に適用される。

ヒッグス場

スカラー場の中でも特に重要なのが、素粒子物理学におけるヒッグス場である。ヒッグス場は、標準模型において自発的対称性の破れを通じて粒子に質量を与える役割を果たしている。ヒッグス場は複素スカラー場として記述され、そのポテンシャルは次の形を取る：

V(\phi )=\lambda \left(|\phi |^{2}-{\frac {v^{2}}{2}}\right)^{2}

ここで、 $\lambda$ は結合定数、 $v$ は真空期待値であり、 $\phi$ はヒッグス場を表す。ヒッグス場がその真空期待値を持つことで、電弱対称性が自発的に破れ、ウィークボソンやフェルミオンに質量が与えられる。この理論的枠組みは、ヒッグス機構と呼ばれ、2012年にヒッグス粒子の発見によって実験的に確認された。

スカラー場の量子化

スカラー場も他の場と同様に量子化することができる。スカラー場の量子化は、場の演算子を用いてスカラー粒子の生成・消滅を記述する形式へと発展する。自由なスカラー場の量子化では、場の演算子が次のように展開される：

\phi (x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\left(a_{\mathbf {p} }e^{ipx}+a_{\mathbf {p} }^{\dagger }e^{-ipx}\right)

ここで、 $a_{\mathbf {p} }$ は消滅演算子、 $a_{\mathbf {p} }^{\dagger }$ は生成演算子を表し、 $E_{p}$ はエネルギーである。この形式は、場が粒子と反粒子を生成・消滅する過程を記述するための基本的な枠組みを提供する。

相互作用するスカラー場

スカラー場は、他の場や自身との相互作用を持つ場合もあり、その際には相互作用項がラグランジアンに追加される。例えば、 $\phi ^{4}$ 理論は、スカラー場の自己相互作用を記述する最も単純なモデルの一つであり、次のラグランジアン密度で表される：

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi )-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}

ここで、 $\lambda$ は相互作用の強さを示す結合定数である。この理論では、スカラー場の自己相互作用により、場のダイナミクスや真空構造が変化し、さまざまな物理的現象が説明される。

スピノル場

スピノル場は、フェルミ粒子（半整数スピンを持つ粒子）を記述するために用いられる。代表的なフェルミ粒子として、電子やニュートリノがある。これらの粒子はパウリの排他原理に従い、量子状態を共有できない。

ディラック方程式

スピノル場を記述するためには、ディラック方程式が用いられる。ディラック方程式は、相対論的なフェルミ粒子の運動を記述する基礎方程式である。この方程式は次の形で表される：

(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0

ここで、 $\gamma ^{\mu }$ はディラック行列、 $\psi$ はスピノル場、 $m$ は粒子の質量を表す。この方程式は、スピノル場がどのように時空間において振る舞うかを示している。

スピノルの性質

スピノルは、通常のベクトルとは異なる性質を持つ。特に、スピノルは回転に対して通常のベクトル場と異なる変換法則に従う。たとえば、360度の回転を行ってもスピノルの符号が反転することがある。この性質により、スピノルは半整数スピンを持つ粒子を記述するのに適している。

フェルミ粒子と統計

スピノル場に従う粒子、つまりフェルミ粒子は、フェルミ・ディラック統計に従う。これは、ある一つの量子状態に複数の粒子が存在することができないという特徴を持つ。この性質が、電子殻構造や物質の多くの性質を決定している。

量子場とディラック場

スピノル場は、場の量子論において、ディラック場として量子化される。ディラック場の量子化により、フェルミ粒子の生成消滅演算子が導入され、フェルミ粒子の相互作用が記述される。この過程は、粒子の生成や消滅を理論的に説明する枠組みを提供する。

応用例

スピノル場の理論は、標準模型や電弱相互作用、さらには超対称性理論においても重要な役割を果たす。これにより、素粒子の質量や相互作用の説明が可能になる。

ベクトル場

ベクトル場は、整数スピンを持つ粒子、特にゲージ粒子を記述するために用いられる。代表的なベクトル場として、電磁場を記述するための光子場がある。また、弱い相互作用や強い相互作用を記述するためのベクトル場も存在する。

電磁場とマクスウェル方程式

最もよく知られたベクトル場の例は、電磁場を記述する電磁ベクトルポテンシャル $A^{\mu }$ である。電磁場は、マクスウェル方程式を通じて記述され、その場の運動方程式は次のようにラグランジアンから導かれる：

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

ここで、 $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ は電磁場テンソルで、電場と磁場を含んでいる。この方程式は光子、つまり電磁場の量子を記述するものであり、光子が質量ゼロであることも示している。

ゲージ理論におけるベクトル場

ベクトル場は、ゲージ理論において重要な役割を果たす。特に、標準模型における電弱相互作用や量子色力学（QCD）では、ゲージ粒子がベクトル場として記述される。例えば、電弱相互作用ではウィークボソン（ $W^{\pm }$ や $Z$ ）が、量子色力学ではグルーオンがベクトル場として振る舞う。

ゲージ場は局所対称性に対応しており、その対称性の破れにより粒子に質量が与えられる。これはヒッグス機構を通じて説明される。

プロカ方程式

質量を持つベクトル場を記述するためには、プロカ方程式が用いられる。これは、光子のように質量がゼロのゲージ粒子とは異なり、質量を持つ粒子、例えばウィークボソン $W$ や $Z$ を記述するためのものである。プロカ方程式は次の形で書ける：

\partial _{\nu }F^{\mu \nu }+m^{2}A^{\mu }=0

ここで、 $A^{\mu }$ は質量を持つベクトル場を表し、 $m$ はその質量である。

ベクトル場の量子化

ベクトル場も量子化することができ、その結果、ゲージ粒子の生成消滅演算子が得られる。例えば、電磁場の量子化により、光子の生成消滅を記述できるようになる。場の量子論におけるゲージ粒子の量子化は、相互作用の記述に重要であり、量子電磁力学（QED）や量子色力学（QCD）の基礎となっている。

応用例

ベクトル場は、素粒子物理学の様々な分野で応用されている。例えば、標準模型ではゲージ理論に基づいて、電磁相互作用、弱い相互作用、強い相互作用が記述される。また、重力を記述する場の理論として、重力場もベクトル場として扱われることがある（厳密には重力場はテンソル場であるが、時空の対称性と関連するため、ベクトル場との関連も議論される）。

テンソル場

テンソル場は、場の量子論において、スカラー場やベクトル場よりも高次の対称性を持つ場を記述するために用いられる。テンソル場は、重力や強い相互作用など、さまざまな物理現象を記述するために必要となる。特に、重力場を記述するための重力場テンソルや、場の理論における応用例としてのヤン・ミルズ理論における場の強度テンソルが挙げられる。

重力場とアインシュタイン方程式

最もよく知られたテンソル場の例は、重力場を記述するアインシュタインの一般相対性理論における重力場テンソルである。一般相対性理論では、時空の曲率がエネルギー・運動量テンソルによって決定され、その関係をアインシュタイン方程式で表すことができる。アインシュタイン方程式は次のように書かれる：

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }

ここで、 $R_{\mu \nu }$ はリッチテンソル、 $g_{\mu \nu }$ は計量テンソル、 $T_{\mu \nu }$ はエネルギー・運動量テンソルを表す。この方程式は、重力が物質やエネルギーの分布に依存することを示している。

電磁場テンソル

電磁場もテンソル場として記述することができる。電磁場を記述する際に用いられる場の強度テンソルは、次のように定義される：

F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }

ここで、 $A_{\mu }$ は電磁ベクトルポテンシャルであり、 $F_{\mu \nu }$ は電場と磁場を統合して記述するテンソルである。電磁場テンソルは、マクスウェル方程式をコンパクトな形で表現でき、場の量子論においても重要な役割を果たす。

ヤン・ミルズ理論における場の強度テンソル

ゲージ理論の一般化であるヤン・ミルズ理論においても、場の強度テンソルは中心的な役割を担う。この理論では、非可換ゲージ群に対応する場の強度テンソル $F_{\mu \nu }^{a}$ が次のように定義される：

F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}

ここで、 $A_{\mu }^{a}$ はゲージ場、 $g$ は結合定数、 $f^{abc}$ は構造定数を表す。この場の強度テンソルは、量子色力学（QCD）や電弱相互作用など、非可換ゲージ理論に基づく相互作用を記述する際に不可欠である。

テンソル場の量子化

テンソル場も量子化することができ、特定の粒子の生成・消滅を記述するための場の理論において重要な役割を果たす。例えば、重力場の量子化は重力子と呼ばれる粒子の生成・消滅を扱う理論として期待されているが、完全な量子重力理論はまだ確立されていない。

応用例

テンソル場は、重力理論だけでなく、場の量子論における様々なゲージ理論にも応用されている。特に、ヤン・ミルズ理論は素粒子物理学における標準模型の基盤となっており、強い相互作用や電弱相互作用の記述において不可欠な役割を果たしている。

粒子間の相互作用

場の量子論では、粒子間の相互作用は場を介して記述される。これは、古典的な場の理論における相互作用が、場の量子化によって粒子の生成・消滅を通じて説明されることを意味する。具体的には、相互作用を持つ場のラグランジアンに相互作用項が含まれることで、粒子の相互作用が記述される。

相互作用ラグランジアン

場の量子論における粒子間の相互作用は、ラグランジアン密度に相互作用項を追加することで表される。一般的な相互作用ラグランジアンは次のように表すことができる：

{\mathcal {L}}_{\text{int}}=g\phi _{1}\phi _{2}\phi _{3}\cdots

ここで、 $g$ は結合定数で、 $\phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}$ は相互作用に関与する場を表す。この形式により、粒子の相互作用が記述され、場の理論における様々な物理現象をモデル化できる。

例えば、量子電磁力学（QED）では、電子と電磁場との相互作用が次のように記述される：

{\mathcal {L}}_{\text{int}}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi

ここで、 $e$ は電荷、 $\psi$ は電子場、 $A_{\mu }$ は電磁場を表し、 $\gamma ^{\mu }$ はディラック行列である。この相互作用ラグランジアンは、電子が電磁場を介して相互作用する過程を記述している。

フェルミの黄金律

相互作用による遷移確率は、フェルミの黄金律に基づいて計算される。フェルミの黄金律は、初期状態と最終状態の間の遷移確率がハミルトニアンの摂動によって決定されることを述べている。遷移確率は次のように表される：

W_{i\to f}=2\pi \left|\langle f|H_{\text{int}}|i\rangle \right|^{2}\rho (E_{f})

ここで、 $H_{\text{int}}$ は相互作用ハミルトニアン、 $\langle f|H_{\text{int}}|i\rangle$ は遷移行列要素、 $\rho (E_{f})$ は最終状態のエネルギー密度である。この式は、相互作用による粒子の生成・消滅や散乱過程の計算に重要な役割を果たす。

図式表現とファインマン・ダイアグラム

粒子間の相互作用を視覚的に表現する方法として、ファインマン・ダイアグラムが用いられる。ファインマン・ダイアグラムは、粒子の生成・消滅や散乱過程を図式的に示し、場の理論における複雑な相互作用を簡潔に記述するための強力な手法である。

ファインマン・ダイアグラムでは、外線は自由粒子を、内線は相互作用粒子や仮想粒子を表す。例えば、電子と光子が相互作用する過程は、次のようなファインマン・ダイアグラムで示される：

e^{-}\to \gamma +e^{-}

このようなダイアグラムを利用することで、相互作用の計算が簡略化され、散乱断面積や遷移確率の解析が行いやすくなる。

散乱過程とS行列

場の量子論における粒子間の相互作用の研究は、散乱過程を解析することで行われることが多い。散乱過程は、初期状態における自由粒子が相互作用を経て最終状態に至るプロセスを記述する。

この過程の理論的枠組みとして、S行列（散乱行列）が用いられる。S行列は、初期状態から最終状態への遷移を記述する演算子であり、その要素は遷移確率振幅を表す。S行列は次の形式で定義される：

S_{fi}=\langle f|S|i\rangle =\delta _{fi}-2\pi i\delta (E_{f}-E_{i})\langle f|T|i\rangle

ここで、 $T$ は遷移行列要素であり、相互作用により初期状態 $|i\rangle$ が最終状態 $|f\rangle$ へと遷移する確率を記述する。

相互作用の種類

場の量子論における粒子間の相互作用には、以下のような基本的な種類がある：

電磁相互作用：光子を媒介する相互作用であり、電荷を持つ粒子が関与する。
弱い相互作用：ウィークボソン（ $W$ および $Z$ ）を介して、フェルミ粒子間で働く相互作用である。
強い相互作用：グルーオンを介して、クォークやハドロン間で働く力である。
重力相互作用：重力子を仮定し、重力場を通じた粒子間の相互作用を記述する。

それぞれの相互作用は異なる場を通じて媒介され、場の量子論において統一的に理解されている。