学習方法/高校受験/数学

高校入試に向けて、数学編集

基本的に勉強というのは、まずはやってみる、自分で創意工夫して勉強してみる、という事が重要だろう。世の中では勉強法について語る人は多いし、そういう趣旨の本もたくさん出版されている。確かにある程度確立された学習法というのはあるだろうし、多くの人にとってかなり普遍的に効果が高い方法というのも見出されているだろう。

だから他者の意見はある程度聞き入れて取り入れた方がいいだろうが、しかし結局勉強、学習、学問とは自律的なものであり、自分自身が真理に辿り着く過程だろう。

自称賢者の言う事をはいはい聞いてその通りに生きて行動するのも、つまらない事ではないだろうか?

この文章を書いている現編集者は、割と長い期間をかけて,それほど深刻な意識を持たないままに、このサイトにおける学習方法の項目の再編集を試みている。

世の中には既得権益、既得能力に完全に依存して、ただただ自分自身の満足と利益を求め、まあ本人はその意識がなく、常に利他を行使していると思い込んでいるだろうが、兎に角この世界と人間性と人間の可能性をただただ狭くし棄損し続けるような言論を弄するような人間が多いし,その言論も多いように思う。

そういう言論、文章を修正し、妥当な文章に書き換えたいというのが現編集者の意図だが、これは永遠に完成することがない、常に途上にある行為です。ですからその結果も常に途上であり、例えばこのページも、今この文章を書いている時点ではこの項目だけしか書き換えていないから、ページ全体としては主張の齟齬があり、矛盾が見いだされることになるでしょう。

数学の言葉編集

まず最初に、ちょっとした数学に関する話題、説明をこれから書いていきます。

我々は学校での算数、数学の学習で四則演算というものを習いましたよね。つまり足し算、引き算、掛け算 、割り算、+-×÷の 4つの数の計算のことです。

この計算は、2項の演算で、つまり二つの実数から一つの実数を導き出しているわけですよね。

だから、我々は2項演算として、4種類の演算を重要視しているわけです。

しかし実はこの先、というのは大学やそれ以降ですが、数学の議論を深めより本質的にこの問題を考えていくためには、4種の2項演算を、2種の2項演算と2種の1項演算に還元して考えたほうが何かと都合がいいことが明らかになっていきます。

この2種の2項演算とは足し算と掛け算です。そして2種の1項演算は、正負の符号変換と逆数化です。

つまり、

a-b=a+(-b)

a÷b=a×(1/b)

ということですよね。

ですからより先鋭的には、四則演算に関する二項演算は、足し算と掛け算の2種を考えるとよい、という事になりますよね。

そこでまず、足し算と掛け算にはこういう性質があります。

a+b=b+a

a×b=b×a

このように2項演算で前後を入れ替えても値が同じになる性質を、交換法則と言います。

また、こういう性質もありますよ。

(a+b)+c=a+(b+c)

(a×b)×c=a×(b×c)

これは三つの値に同じ二項演算を二回働かせた時の性質で、結合法則と言います。そしてこの二つの法則のほかにもう一つ、二項演算の重要な法則があって、

(a+b)×c = a×c + b×c

これを分配法則と言います。この議論では、3つの値に2種類の異なった演算を働かせていますよ。ですから+と×を逆さにした形式を考えることができますよね。これなんですが…

(a×b)+c

これの相手は

(a+c)×(b+c)

だけどこれは…

(a+c)×(b+c)=(a×b)+c×(a+b+c)

これは結論だけ書いてしまうと一般には等しくない、c が 0 のときと a+b+c が 1 の時にだけなり立ちます。

さて、そして最初の正しい分配法則に戻りますが、掛け算は交換法則が成り立っていますから、

c×(a+b) = (a+b)×c = a×c + b×c = c×a + c×b

が成り立ちますね。より詳しくは、前者を右分配法則、後者を左分配法則と言い、演算の交換法則が成り立っていれば、片方が成り立てばもう片方も無条件で成り立ちますが、交換法則を満たさない二項演算では、個別に判断しなければいけませんよね。

さて、この辺が中学1年で学習する計算法則の言葉に関するより詳しい説明なんですが…、最近の学校の数学の定期試験では、こういう言葉を穴埋めで答えるような語句問題も出題されるようですね。

ただ、現時点(2021/11)では、高校入試としてこのような語句の穴埋め問題などは、ほとんど出題されないようです。

むしろやはり昔からあった、計算問題、文章題、証明問題が出題の基本になるでしょう。数学の技術としての思考を重視していますよね。

授業中の学習方針編集

入試が近づいてくると何となく学校や授業の雰囲気もピリピリしたり、少し様子が変わってきますよね。

授業はある程度の時期までは普通に続きますが、入試前は中学1年生2年生の内容の復習もやりたいし、授業の受け方も気分も少し変わってきます。前編集者の指摘として、ノートの取り方として、きれいに見易くとって書きまとめることより、重要な定理や問題の解き方のポイントを強調して取ることが効果的だろうと書かれています。つまりあまりノートとしての完成度にこだわるより、重要ポイントの印象を大きくするようなものが望ましいですね。

帰宅後編集

入試前の数学の勉強は、中1・2の内容の復習の時間と現在進行の内容の復習の時間で、なんやかやで一日30分~1時間程必要であろう。(人にもよる)。

お薦め時間配分は、過去のノート・教科書の見返しに5分、見返した範囲の問題演習に20分~30分、その日学習した内容の問題演習に5分~15分程度。

在宅学習時に、過去のノートや教科書の内容を別のノートに丁寧にまとめ直したり、公式の一覧を作ったりするような学習があるが、前編集者はあまり推奨していない。入試問題として計算や出題に対する適切な回答という、数学教育の歴史として続けられてきた問題演習に正答することが重要になるので、高校受験勉強として直近の時期に基礎をまとめることは試験に高得点を取るという即物的な目的にはあまり敵わないだろう。

然しまったく無駄というわけではない。生徒によっては基礎を纏め直す事が自分の理解や記憶を整理することになるし、場合によっては試験の得点に結びつくこともあるだろう。

公立高校入試の対策編集

まずは入試問題の過去問をやってみるとよい。入試問題は中学の定期テストや普段の課題とは少し異なる出題形式をしている。入試独特の出題形式に慣れることに加え、出題傾向を掴むことが出来ると、受験対策として非常に有効だろう。

  • 計算問題

多くの入試で、最初の小問集合に計算問題が出題される。ここでは基本的な計算能力・計算順序の理解が問われている。

  • 関数・図形等の問題

入試では基礎から応用・発展まで幅広く出題される。もちろん学問・勉強で一番大事なのは基礎だが、多くの試験問題作成者は応用、発展問題の出題を好む。基礎が固まったら、教科書、学校で使っている問題集の、やや発展的な問題をやってみるといいだろう。(実際の入試では、教科書応用問題のさらに斜め上を行く問題が出る事が多い。)

  • 証明問題

公立入試では特別に難しい証明問題は出題されない。教科書に載っている図形の性質、定理を積み重ねていき、問題としている場合に適合させると、出題される命題が真理なことは示せるだろう。計算問題と同様慣れの要素もあるので、問題集を手に入れて様々な課題をやってみるのもいいだろう。現編集者の意見としては、証明の仕組みとは何か、よく考えて研究してみるのも面白い勉強になるとは思う。

私立や難関校の対策編集

難関高校・私立高校の入試問題、数学に関して、そしておそらくほかの教科もそうだろうが、ある程度の難しい問題が出題されるだろう。数学に関して、そして実はあらゆることでそうなのだが、話を難しく、煩雑にしようと思えばどこまででもできる。だから、自分の目指す高校の実情に合っているような問題集を手に入れて、演習を重ねるといいだろう。

教科書程度の演習では足りないという事になるだろう。やはりもう少し難易度の高い演習をしていきたい。

  • 高校数学の内容について

現編集者の感覚では、現時点(2021)で飛び級がない日本の学制ではなおさら、中学校のうちに高校の学習をすることより、(ただ本当に余裕があるなら興味を満たすためやってみても良いが)、現時点での中学校の数学の理解を深めることに力を入れたほうがいいと思う。前編集者の指摘として、例えば高校で習う因数分解のたすき掛けの方法、   の a,b,c,d を見つけ出すための簡便な方法、をしっていると便利な時があると書いているが、そもそも私立や難関校入試で、たすき掛けが必要な因数分解の問題が出題されるのかという疑問もある。ただその辺は現編集者の調査不足もあり、ひょっとしたら出題されるときもあるかもしれない。