小学校算数/5学年

5年生の算数では、整数、分数の計算、合同な図形、多角形などについて学習します。

整数

偶数と奇数

4年生までに、整数のことについて学びました。では、整数についてもっと深く学んでいきましょう。

2でわり切れる整数を「偶数(ぐうすう)」といい、2でわり切れない整数を「奇数(きすう)」といいます。 たとえば、2、6、10、50などは偶数で、1、5、11、51などは奇数です(0は2でわり切れると考えられるので、偶数です)。

なお、一の位の数が

0,2,4,6,8

ならばその数は偶数で、

1,3,5,7,9

ならばその数は奇数です。

• 問題

54,78,85,231は偶数ですか、奇数ですか。

• • 答え

一の位の数に注目しましょう。 それぞれ、

4,8,5,1なので、

結果は、

54…偶数

78…偶数

85…奇数

231…奇数

となります。

倍数と約数

ある整数に整数をかけてできる数を、ある整数の倍数(ばいすう)といいます。

たとえば、3の倍数は

$3\times 1,$

$3\times 2,$

$3\times 3,$

$3\times 4,$

$\cdots$

などがあります(0については考えません)。ある整数の倍数は、無数にあります。

ある整数をわり切ることができる整数を、ある整数の 約数(やくすう) といいます。 たとえば、12の約数には 1,2,3,4,6,12 があります。約数の個(こ)数には、限(かぎ)りがあります。

約数の調べ方

12の約数を調べる方法を考えてみましょう。 まずは、積が12となる2つの整数を探す方法で調べてみましょう。 このようなものを調べると(1との積が12になる整数、2との積が12になる整数、…と調べることができます)、 1と12、 2と6, 3と4 があります。 これから、12の約数は 1,2,3,4,6,12 であることがわかります。 (実際には、4以上との整数との積を調べる必要はありません。一度出ています。このように、一度出た整数が再(ふたた)び現(あらわ)れたら終了(しゅうりょう)となります。

公倍数と公約数

2つの整数に共通している倍数を 公倍数(こうばいすう)といいます。特に、最も小さい公倍数を 最小公倍数 といいます。

たとえば、12と16の倍数を書き出すと、

12の倍数:12,24,36,48,60,72,84,96,120,132,144,156…

16の倍数:16,32,48,64,80,96,120,144,160…

となるので、12と16の公倍数は 48,96,144…となります。12と16の最小公倍数は 48 となります。

また、3つの数 4と6と9 の最小公倍数について考えてみましょう。

4の倍数:4,8,12,16,20,24,28,32,36,40…

6の倍数:6,12,18,24,30,36,42…

9の倍数:9,18,27,36,45,54…

となるので、4と6と9の最小公倍数は36となります。

なお、4と6の最小公倍数は12なので、12の倍数と9の倍数で考えることができます(同じように、6と9の最小公倍数である18の倍数と4の倍数を用いて考える、などの方法もあります。このように、最小公倍数は、それぞれの整数の倍数を書き出して考えることができます。

2つの整数に共通している約数を 公約数(こうやくすう)といいます。特に、最も大きい公約数を 最大公約数 といいます。

たとえば、12と16の公約数を書き出すと、

12の約数:1,2,3,4,6,12

16の約数:1,2,4,8,16

となるので、12と16の公約数は 1,2,4となります。12と16の最大公約数は 4 となります。

式と計算

整数と小数のしくみ

青森(あおもり)県と北海道(ほっかいどう)を結ぶ青函(せいかん)トンネルの長さは53.85kmです。この53.85という数について考えましょう。

青函トンネルを通る電車

10倍すると538.5、

100倍すると5385、

1000倍すると53850 と、小数点が移(うつ)っていきます。

このように、ある数を10倍、100倍、1000倍…にすると、小数点が右に1けた、2けた、3けた…ずつずれていきます。

また、東京(とうきょう)都から大阪(おおさか)府を走っている東海道新幹線(とうかいどうしんかんせん)の路線きょりは515.4kmです。この515.4という数について考えましょう。

東海道新幹線

${\frac {1}{10}}$にすると51.54、

${\frac {1}{10}}$にすると5.154、

${\frac {1}{10}}$にすると0.5154、と、小数点が移(うつ)っていきます。

このように、ある数を${\frac {1}{10}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{1000}}$にすると、小数点が左に1けた、2けた、3けた…ずつずれていきます。

小数のかけ算、わり算

小数のかけ算、わり算の意味

小数のかけ算とわり算も、整数の場合と同様にできます。 しかし整数と同じように計算すると矛盾します。

小数のかけ算、わり算の計算

小数 × 小数

次のかけ算の問題を解いてみましょう。

• 1mの重さが2.3kgのパイプがあります。このパイプが2.8mあったら重さは何kgですか。

式は $2.3\times 2.8$ となります。

計算のしかたを考えてみましょう。

パイプの重さを23kgと10倍にすると、求める重さも10倍になります。

パイプの長さが10倍になると、求める重さも10倍になります。

• 1mの重さが23kgのパイプ28mの重さは $23\times 28=644$

1mの重さが2.3kgのパイプ2.8mの重さを出すには、この積を${\frac {1}{100}}$ にすればよいので

$2.3\times 2.8=23\times 28\div 100=6.44$

したがって、 $2.3\times 2.8=6.44$ となります。答えは6.44kgです。

小数 ÷ 小数

次のわり算の問題を解いてみましょう。

• 6.5mの重さが7.8kgの鉄のぼうがあります。この鉄のぼう1mの重さは何kgですか。

式は $7.8\div 6.5$ となります。

計算のしかたを考えてみましょう。

同じぼうの長さを10倍にすれば、重さも10倍になります。

65mのぼうの重さは $7.8\times 10=78$

鉄のぼう1mの重さは$(7.8\times 10)\div (6.5\times 10)=78\div 65=1.2$

したがって、 $7.8\div 6.5=1.2$ となります。答えは1.2kgです。

約分

右の図を見てください。ファイル:Fraction4 6.svg ${\frac {2}{3}}$と${\frac {4}{6}}$と${\frac {6}{9}}$が同じ大きさであることがわかるでしょう。ですから、${\frac {4}{6}}$や${\frac {6}{9}}$は${\frac {2}{3}}$になおせますね。分数を、同じ大きさで、分母と分子ができるだけ小さい分数になおすことを 約分(やくぶん)する といいます。

ある分数の分子と分母に、同じ数をかけたりわったりしても分数の大きさは変わりません。

約分する方法には、分母と分子を分母と分子の最大公約数でわる方法があります。

通分

先ほどの 約分 とは逆に、たとえば、${\frac {2}{3}}$は ${\frac {4}{6}}$や${\frac {6}{9}}$ となおせますね。

たとえば、${\frac {1}{2}}$ は ${\frac {2}{4}},{\frac {3}{6}}$…となおすことができます。

また、${\frac {1}{3}}$ は ${\frac {2}{6}},{\frac {3}{9}}$… となおすことができます。

いま、${\frac {1}{2}}$と${\frac {1}{3}}$は それぞれ ${\frac {3}{6}}$、${\frac {2}{6}}$ になおせました。このように、2つ以上の分数を 分母が同じ大きさになるように直すことを 通分(つうぶん)する　といいます。通分する方法には、すべての分数の分母を すべての分数の分母の最小公倍数にそろえる方法があります。

分数のたし算とひき算

分母がことなる分数のたし算やひき算について考えてみましょう。

では、${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}$

について考えてみましょう。

分母が同じ分数のたし算はすでに学んでいます。そこで 通分 して、分母をそろえると、

${\frac {5}{1}}5+{\frac {3}{1}}5$

となります。これを計算すると ${\frac {8}{1}}5$ となるので、答えは ${\frac {8}{1}}5$ です。

では、

${\frac {5}{6}}-{\frac {1}{2}}$

について考えましょう。 これも、先ほどと同じように通分して、

${\frac {5}{6}}-{\frac {1}{2}}={\frac {5}{6}}-{\frac {3}{6}}={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}$

となります。上のように、答えが約分できる場合は、必ず約分します。

わり算と分数

次の問題を解いてみましょう。

• 2Lのジュースを3等分します。1人分は何Lになりますか。

式は $2\div 3$ となります。

小数で表すと $2\div 3=0.666$…… となり、わりきれません。

1Lを3等分した量は、${\frac {1}{3}}$ Lになります。

2Lは1Lの2つ分です。

2Lを3等分した量のうちの1つは1Lを3等分した量の2つ分であるから、${\frac {2}{3}}$ Lになります。

したがって $2\div 3={\frac {2}{3}}$ となります。

このように、分数は、分数を使うと正確(せいかく)に表すことができます。

整数どうしのわり算の商は、分数で表すことができます。

$\bigcirc \div \triangle ={\frac {\bigcirc }{\triangle }}$

また、0.5と0.24を分数になおしましょう。

$0.1={\frac {1}{10}}$ であるから、$0.5={\frac {5}{10}}$ $(={\frac {1}{2}})$

$0.01={\frac {1}{100}}$ であるから、$0.24={\frac {24}{100}}$ $(={\frac {6}{25}})$

小数は、10、100などを分母とする分数になおすことができます。

5を分数になおしましょう。

$5=5\div 1={\frac {5}{1}}$

$5=10\div 2={\frac {10}{2}}$

整数は、1などを分母とする分数になおすことができます。

計算のきまり

次の問題を考えましょう。

●と○は全部で何個ありますか。

$\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet$

$\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet$

$\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet$

$\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet$

$\circ \circ \circ \circ \circ \circ$

$\circ \circ \circ \circ \circ \circ$

$\circ \circ \circ \circ \circ \circ$

$\bullet$と$\circ$を全部あわせて考えると

$(4+3)\times 6=42$

$\bullet$の数と$\circ$の数をそれぞれ求めてあわせると

$4\times 6+3\times 6=42$

よって

$(4+3)\times 6=4\times 6+3\times 6$

が成り立ちます。

(　)を使った式の計算には次のような法則（ほうそく）があります。

$(\Box +\bigcirc )\times \triangle =\Box \times \triangle +\bigcirc \times \triangle$

$(\Box -\bigcirc )\times \triangle =\Box \times \triangle -\bigcirc \times \triangle$

このような法則（ほうそく）を 分配法則（ぶんぱいほうそく） といいます。（小学校では、法則名は覚えなくても構いません。）

この考えを使って、くふうして暗算で計算しよう。

${\begin{aligned}27\times 9+33\times 9&=(27+33)\times 9\\&=60\times 9\\&=540\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}98\times 27&=(100-2)\times 27\\&=100\times 27-2\times 27\\&=2700-54\\&=2646\\\end{aligned}}$

たし算とかけ算には、次のようなきまりがあります。

$\Box +\bigcirc =\bigcirc +\Box$

これを たし算の 交換法則（こうかん ほうそく）と言います。

$(\Box +\bigcirc )+\triangle =\Box +(\bigcirc +\triangle )$

これを たし算の 結合法則（けつごう ほうそく）と言います。

$\Box \times \bigcirc =\bigcirc \times \Box$

これを かけ算の 交換法則（こうかん ほうそく）と言います。

$(\Box \times \bigcirc )\times \triangle =\Box \times (\bigcirc \times \triangle )$

これを かけ算の 結合法則（けつごう ほうそく）と言います。

この考えを使って、くふうして暗算で計算しよう。

${\begin{aligned}(8+16)+84&=8+(16+84)\\&=8+100\\&=108\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}36\times 25=9\times (4\times 25)\\&=9\times 100\\&=900\\\end{aligned}}$

図形

合同

図のような三角形ABCと三角形DEFは合同である。

2つの図形が、その図形の位置や向きをかえて、形と大きさをかえずに、重ねられるとき、その2つの図形は 合同(ごうどう)である といいます。

多角形

正六角形

多角形 （たかくけい）とは、3本以上の線でかつそのどれもが結ばれた図形のことを言います。名前は線が3本なら 三角形 、4本なら 四角形 、5本なら 五角形（ごかくけい）、・・・というふうになります。

また、辺の長さと角の大きさが全て同じである多角形のことを 正多角形 （せいたかくけい）と言います。三角形の場合は正三角形、四角形の場合は正四角形（「正方形」（せいほうけい）というのがふつうです）、五角形の場合は正五角形・・・というふうになります。

正五角形

正多角形のかきかた

正多角形は、まず円をかき、その中心の周りの角を等分することでかけます。例えば正五角形は、円をかき、その中心の周りの角を５等分して、72°ずつに区切り、区切る直線が縁と交わったところの点を結ぶことで書けます。なお、正六角形は、

図形の角

三角形の3つの角の大きさの和

三角形をかいて、3つの角の大きさの和を求めてみましょう。 三角形の3つの角の大きさの和は、どんな三角形でも 180°になります。

四角形の4つの角の大きさの和

四角形の4つの角の大きさの和は、どんな四角形でも 360°になります。

四角形に対角線を1本引けば、ふたつの三角形に分かれるので、２つの三角形の三角形の3つの角の大きさの和に等しくなります。

多角形の内角の和

五角形では、五角形の5つの角の大きさの和は、三角形の3つの角の大きさの和に等しくなります。

五角形の内角の和をもとめるための対角線のひきかたには、いろいろとありますが、とにかく五角形の内角の和は三角形の3つの角の大きさの和に等しくなります。

五角形の内角の和は 180°×(5－2)＝540° より、五角形の内角の和は 540°になります。

六角形の6つの角の大きさの和をもとめるための対角線のひきかたには、いろいろとありますが、とにかく六角形の6つの角の大きさの和は、4つの三角形の3つの角の大きさの和になります。

円周の長さと円周率

円のまわりの長さを 円周(えんしゅう) といいます。 例えば、

では、直径7cmの円の円周は何cmでしょう。

円周は曲がっているので、定規でははかれません。しかし「円周÷直径」はどの円でも同じです。これを 円周率（えんしゅうりつ） といい、円周率は およそ3.14 であることが わかっています。

円周率は、くわしくは 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 … と、限(かぎ)りなく続きます。

小学校では、円周率は 3.14 として計算することが多いです。

円周率は、分数で表すことはできない数で、小数で表すといつまでも終わらないことがわかっています。

円周÷直径＝3.14

でしたから、

円周＝直径×3.14

ですね。はじめの問題を解(とく)くと、7×3.14＝21.98(cm)というようになります。

円周率の研究の歴史(れきし)

円と、円にぴったり入る正多角形と、円がぴったり入る正多角形をかくと、この円の周は内側の正多角形より長く、外側の正多角形よりは短くなり、これから円周率のおよその値がわかります。古代ギリシアの数学者アルキメデスは、円にぴったり入る正96角形と、円がぴったり入る正96角形を使い、円周率は 3${\frac {10}{71}}$ (＝3.1408…)より大きく、3${\frac {1}{7}}$ (＝3.1428…)より小さいことを発見しました。また、オランダの数学者ルドルフ（1539年～1610年)は、 正4611686018427387904角形（正2の62乗角形）を使って、円周率を小数点以下35けたまで求めました。その後も、日本の数学者　関孝和（せきたかかず）や建部賢弘（たけべかたひろ）などが円周率を研究しました。2010年、長野（ながの）県飯田（いいだ）市に住む日本人と米国人がチームを組みが、コンピュータを使って円周率を５兆けた計算し、この計算でギネス世界記録に選ばれました。（正多角形の考え方ではなく、「計算結果が円周率になる式」が使われています。）今でも、円周率は日々計算されています。

面積

面積は、図形の広さを表すものです。例えば、

面積は長方形・正方形の場合は、たて×よこで表すことができました。

たとえば、たて4cm、よこ5cmの長方形の面積は、4×5＝20（cm²）となります。

次の図形でも、面積は次のように求めることができます。

三角形の面積

図1

図2

図3

右の図1の方眼紙は1目もり1cmです。図1の三角形の面積を考えてみましょう。

図2のように三角形の周りにたて4cm、横8cmの面積を作ると面積の等しい直角三角形が2組できます。だから、三角形の面積はこの長方形の面積の半分になります。また、図3のように、三角形で、ある辺を底辺(ていへん)としたとき、向かい合う頂点(ちょうてん)から底辺に垂直(すいちょく)に引いた直線を高さといいます。辺と高さが重なったり、高さが図形の外にきたりすることもあります。図2の長方形で、たての長さは高さ、横の長さは底辺とみることができるので、三角形の面積の公式は 底辺×高さ÷2 となります。高さが図形の外にあってもこの公式は使えます。図1の三角形の面積は $8\times 4\div 2=16$ より、16cm²となります。

平行四辺形の面積

図1

図2

図3

図4

右の図1の方眼紙は1目もり1cmです。図1の平行四辺形の面積を考えてみましょう。

図2の位置から図3の位置に色の濃(こ)い三角形を移動すると、だから、三角形の面積はこの長方形の面積の半分になります。また、図4のように、平行四辺形で、ある辺を底辺(ていへん)としたとき、底辺とそれに向かい合う辺のはばを 高さ といいます。図2の平行四辺形で、たての長さは高さ、横の長さは底辺とみることができるので、平行四辺形の面積の公式は 底辺×高さ となります。高さが図形の外にあってもこの公式は使えます。図1の平行四辺形の面積は $\times 7\div 5=35$ より、35cm²となります。

台形とひし形の面積

台形

図1

図2

図3

図1の台形の面積を考えてみましょう。

図2のように、この台形を2つならべると平行四辺形ができます。台形の面積はこの平行四辺形の半分です。図3のように、台形にで、平行な2本の辺をそれぞれ 上底(じょうてい)、下底(かてい) といいます。この平行四辺形で、底辺は(上底＋下底)で、高さはもとの台形の高さと同じなので面積は (上底＋下底)×高さ　となります。台形の面積はこの半分なので、台形の面積の公式は (上底＋下底)×高さ÷2 となります。

ひし形

図1

図2

図3

図1のひし形の面積を考えてみましょう。

図2のように、ひし形の周りに長方形を作ります。ひし形の面積は長方形の面積のちょうど半分です。長方形のたてと横はそれぞれひし形の対角線となっています。ですから、図3のように、ひし形の面積の公式は 対角線×対角線÷2 となります。

体積

2年生では、「かさ」や「L」などの単位について、ならいました。

1Lと、立方（りっぽう）センチメートルとの、かんけい。
1L=1000cm³である。

立体の、空間での大きさ（今までに習った「かさ」のこと）を 体積 （たいせき） といいます。

面積では、縦（たて）と横（よこ）が 1cm の正方形の面積のことを 1cm² と いいました。

体積では、縦（たて） と 横（よこ） と 高さ（たかさ） が 1cm の 立方体 の 体積 を 1cm³ と 書き 、「 1 立方（りっぽう） センチメートル」といいます。

体積は、縦と 横と 高さが 1cm の 立方体 の 体積（1cm³）が、いくつ分かで表します。

直方体（ちょくほうたい） は 長方形 が たくさん 積み 重なった もの 、 立方体は 正方形 が たくさん 積み 重なったもの と 考えてみると、体積は たて×横× 高さ の式で 求めることができます。

立方体（りっぽうたい） は 全ての辺の長さが同じなので、高さも1辺の長さになります。また、底面の面積は今までどおり 縦×横 の式で計算できます。

つまり、

• 直方体の体積は たて×横×高さ
• 立方体の体積は 1辺×1辺×1辺

で求めることができます。

下の問題を見てみましょう。

• 縦2cm 、 横3cm 、 高さ6cm の 直方体の 体積を　もとめましょう。

という問題があります。

直方体の体積は 縦×横×高さ なので、2×3×6=36（cm³）と求められます。

• 立方メートル

一辺が1mの立方体の体積を1立方メートル（いち りっぽうメートル）と言い 1m³ と書きます。1立方メートルを立方センチメートルで書いたとすると、1mは100cmですから、1m³ は

1m³ = 100cm × 100cm × 100cm = 1000000 cm³

です。（一立方メートルは、百万立方センチメートル）

• 内のりと容積

コップや水槽（すいそう）、プールなど、水などの液体（えきたい）をいれる容器（ようき）について、容器の内部の長さを内（うち）のりといい、その容器に入りきる液体の体積を 容積（ようせき） といいます。

容積の単位（たんい）は、体積と同じようにLやdLや立方cm³や立方m³などを、つかいます。

なお、1Lは 1000cm³ です。つまり

1L=1000cm³

です。

1dLは 100cm³ です。つまり

1dL=100cm³

です。

1mLは 1cm³ です。つまり

1mL = 1cm³

です。

角柱と円柱

角柱と円柱

• 三角柱

三角柱には面が、5個、あります。三角柱の面のうち、2個は三角形です。三角柱の面のうち、3個は四角形です。

三角柱には、頂点が 6個 あります。（数えてみてください。）

三角柱には、辺が 9本 あります。（数えてみてください。）

三角柱の上下の２つの三角形の面を 底面（ていめん） と言います。

底面の面積のことを 底面積（ていめんせき） と言います。

三角柱の底面積は、底面の円の面積とおなじです。

上側の面も、「底」面というのは変だと思うかもしれませんが、慣習（かんしゅう）で、こう呼びます。

三角柱の、２つの三角形である底面のあいだのきょりを、三角柱の 高さ といいます。

三角柱の、展開すると四角形になる部分の面を 側面（そくめん） と言います。

側面の面積のことを 側面積（そくめんせき） と言います。

• 円柱

円柱（えんちゅう）
この図では、hが「円柱の高さ」です。

円柱の展開図

• トイレットペーパーの しん の ような 同じ大きさの円 が 積み重なってできた立体を 円柱 （えんちゅう）と言います。

円柱には面が3個あります。

円柱の面のうち2個は円です。

円柱の上下の２つの円の面を 底面（ていめん） と言います。

円柱の、２つの円である底面の中心を結んだきょりを、円柱の 高さ といいます。

円柱の、展開すると四角形になる部分の面を 側面（そくめん） と言います。

展開図をみると、側面積の縦の長さを「円柱の高さ」にとった場合は、側面積の横の長さは、底面の円周です。

です。

数量関係

単位量あたりの大きさ

単位量あたりの量

サッカーボールを買うために、2つの店 A店とB店に行きました。

A店では 「サッカーボール2つ3000円」で売っており、

B店では「サッカーボール5つ8000円」で売っていました。

どちらが安いといえるでしょうか。

ここでは、サッカーボールの数が違(ちが)います。どのように比(くら)べればよいでしょうか。

一方、「サッカーボール1つで1200円」と、「サッカーボール1つで1300円」とであれば、 「サッカーボール1つで1200円」の方が安いということはすぐ分かります。

つまり、サッカーボールの数が違うときは、サッカーボール1つあたりの値段(ねだん)を比(くら)べれば、どちらが安いか分かるわけです。

このように、「～1つあたり」のようなものを、単位あたりの量といいます。「単位」というのは、「基準(きじゅん)とする量」のことです。ふつうは1を基準とします。

(注意)「豚(ぶた)肉100gあたり130円」などというように、１を基準としないものもあります。

A店でのサッカーボールの1個あたりの値段は、$3000\div 2=1500$円で、

B店でのサッカーボールの1個あたりの値段は、$8000\div 5=1600$円で、

1個あたりの値段で比べれば、A店のほうが安いといえます。

(練習問題)

• サッカーボール5個で6000円のとき、サッカーボール1個あたりの値段を求めましょう。

$6000\div 5=1200$(円)

• サッカーボール1個あたり1000円のとき、3個買うと、全部でいくらですか。

$1000\times 3=3000$(円)

• 1.5Lのジュースが、180円でした。このジュース1Lあたりの値段を求めましょう。

$180\div 1.5=120$(円)

• 1Lあたり130円のジュースを2.3L買いました。全部でいくらですか。

$130\times 2.3=299$（円）

• 1.5Lのジュースが、200円でした。1円あたりジュースを何L買えるでしょう。

$1.5\div 200=0.0075$（L）

人口密度

1km²あたりの人口を人口密度(じんこうみつど)といいます。 では、東京(とうきょう)都と高知(こうち)県の人口密度を求めてみましょう。

東京都の人口：1351万人、面積：2191km²

高知県の人口：72万人、面積：7104km² （2015年の国政調査(こくせいちょうさ)データ・改)

東京都：1351000÷2191=6166.13…　より、約6200人、　

高知県：720000÷7104=101.35…　より、約100人　

となります。

速さ

速さ

ここでは、特に速さについて学んでいきましょう。 例えば、ライオンが9秒間に、200mだけ走ったとします。また、キリンは、6秒間に100mだけ走ったとします。このとき、ライオンは1秒間におよそ22.2m,キリンは、1秒間におよそ16.7m走ったことになります。このように、ある時間あたりに動く割合(わりあい)をさすものを速さといます。 速さはある時間あたりの速さを表すものですから、速さは

速さ＝道のり÷時間　

という式で、求められます。

時速(じそく)とは、1時間あたりに進む距離(きょり)で速さをあらわした、速さの単位です。 たとえば、1時間に10kmを進む自転車の速さは、時速10kmです。2時間で14kmを進んだら、時速7kmです。

分速(ふんそく) とは、1分あたりに進む距離(きょり)で速さをあらわした、速さの単位です。 たとえば、時速10kmという速さを分速になおすと

10÷60=0.16666…

より、およそ分速0.167kmに、つまり、およそ分速167mになります。

秒速(びょうそく) とは、1秒あたりに進む距離（きょり）で速さをあらわした、速さの単位です。 たとえば秒速15cmを分速になおすと、

15×60=900

より、秒速15cmは、分速900cm、つまり分速9mとなります。

なお、「時速5km」を、「毎時5km」「5km/h」などと表すこともあります。

• 問題1

あるマラソン選手が42.195kmを、2.2時間で走り終えました。この選手の速さは、時速何kmですか。

• 答え

式は42.195$\div$2.2 となります。これを計算すると 19.17…となるので、およそ時速19.2kmとなります。

速さの公式

速さ＝道のり÷時間　であるから

道のりは 道のり＝速さ×時間 という式で求められます。

同じように考えてみると

時間は 時間＝道のり÷速さ という式で求められます。

• 問題2　

(1)時速40kmで3時間走った車は、何km進みましたか。

(2)A君は、9kmはなれたところにあるおばさんの家に、時速15kmの自転車で向かっています。何分でつきますか。

(分速を求める方法と、何時間でつくか求める方法でやってみましょう)

割合

はじめに

5年生は200人いて、そのうち音楽をよく聞く人は100人です。一方、6年生は50人いて、
そのうち音楽をよく聞く人は30人です。
5年生と、6年生では、どちらの方が音楽をよく聞くといえるでしょうか。

簡単(かんたん)には、分かりませんね。

それは、5年生と6年生で、全体の人数が違(ちが)うからです。

そこで、比(くら)べるために、5年生と6年生のの人数をそろえてみます。

たとえば、全体の人数を100人にそろえてみましょう。

5年生はもともと全体の人数が200人ですから、これを2でわって100人にします。

同時に、音楽好きな人の人数も2でわります。

<5年生>
全体の人数　：200人 --> 100人(2でわった）
音楽好きな人：100人 -->  50人(2でわった)

一方、6年生はもともとの全体の人数が50人ですから、これを2倍して100人にします。 同時に、音楽をよく聞く人の人数も2倍します。

<6年生>
全体の人数　： 50人 --> 100人(2倍した)
音楽好きな人： 30人 -->  60人(2倍した)

つまり、全体の人数が100人だったとすると、音楽をよく聞く人は、5年生では50人、6年生では60人 いることになります。

この結果、6年生の方が音楽をよく聞くと言えます。

ここでは全体の人数を100人にあわせましたが、もちろん他の数にしても同じ結果になるはずです。

それでは、全体の人数が1人だとして、同じように計算してみましょう。

5年生はもともと全体の人数が200人ですから、これを200でわって1人にします。 同時に、音楽をよく聞く人の人数も200でわります。

<5年生>
全体の人数　：200人 -->   1人 (200でわった)
音楽好きな人：100人 --> 0.5人 (200でわった)

一方、6年生はもともとの全体の人数が50人ですから、これを50で割って1人にします。 同時に、音楽好きな人の人数も50で割ります。

<6年生>
全体の人数　： 50人 -->    1人 (50で割った)
音楽好きな人： 30人 -->  0.6人 (50で割った)

つまり、全体の人数が1人だったとすると、音楽好きな人は、５年生で0.5人、６年生では0.6人 いることになります。

この結果、6年生の方が音楽好きであると言え、先ほどと同じ結果になりました。

この2つめの例のように、ある量(もとにする量という）を1としたとき、別のある量(くらべる量という)がある量の何倍かを表す数を

割合(わりあい)といいます。

割合

一般(いっぱん)に、割合は

割合というのは、「ある量(比べる量)が、ある別の量(もとにする量)の何倍かということです。 ですから、 割合 = くらべる量 ÷　もとにする量

という式で求めることができます。

また、この式から、

くらべる量 = もとにする量 ×　割合、

もとにする量 = くらべる量 ÷　割合

となります。

割合の表し方

割合は例えば「このりんごジュースは果汁(かじゅう)100%です。」や「あるプロ野球選手の今シーズンの打率は3割(わり)1分(ぶ)5厘(りん)でした。」などと使われます。この単位はどのような割合を表すか見てみましょう。

百分率

0.01倍を 1％(パーセント)と表す表し方を 百分率(ひゃくぶんりつ) といいます。ですから、元にする量は 100% となります。

歩合

0.1倍を 1割(わり)、0.01倍を分(ぶ)、0.001倍を厘(りん)と表す割合の表し方を「歩合(ぶあい)」といいます。野球の打率などの表し方で使われています。

割合を表すグラフ

割合を表すグラフには、帯(おび)グラフと円(えん)グラフがあります。

比例

2つの量で、一方が2倍、3倍、…となったとき、もう一方が2倍、3倍、…となるとき、2つの数量は 比例(ひれい)している といいます。

図形と比例

• 直方体において、高さが変わっていくとき、高さと体積は比例します。
• 三角形や平行四辺形において、高さが変わっていくとき、高さと面積は比例します。
• 円において、直径が変わっていくとき、円周は直径に比例します。

平均

3つのコップに 160mL、210mL、230mL のジュースが入るので、これをAさん、Bさん、Cさんの3人で飲もうと思います。しかし、これでは、1人分の量が 均等(きんとう) ではありません。そこで、3人でぴったり分ける方法を考えましょう。

そこで、3つのコップのジュースを合わせて、それを同じ量ずつ3つのコップに分けることにしました。このとき、3つのコップのジュースの量の合計は 160+210+230=600 (mL) になるので、1人分の量は 600÷3=200 (mL) となります。

このように、いくつかの数量を、1つあたりの量が等しくなるようにならしたものを 平均(へいきん)といいます。

平均の求め方

平均＝合計÷個(こ)数

また、合計＝平均×個数、個数＝合計÷平均 となります。

• 問題1

8人に算数のテストを行ったところ、点数は

$75,87,50,38,68,84,72,78$

となりました。このテストの8人の平均点は何点ですか。

• • 答え

平均 = 合計 ÷ 個数 なので

$(75+87+50+38+68+84+74+78)\div 8:=69.25$(点)

となります。 なお、平均は小数や分数となることもあります。

また、、10人いるクラブの各メンバーの体重が、つぎのようなとき、

• データ1

番号	1		2		3		4		5		6		7		8		9		10
体重（kg）	60.3		57.9		65.4		56.1		53.6		62.7		70.0		55.8		67.1		63.1

体重の平均は

$(60.3+57.9+65.4+56.1+53.6+62.7+70.0+55.8+67.1+63.1)\div 10=61.2(kg)$

より、61.2 kg が平均の体重となります。

平均の扱(あつか)いかた

下の表は、ウィキ小学校の5年1組の、ある1週間の、本の貸(か)し出し冊数(さっすう)です。

貸し出し冊数

冊数・曜日	月	火	水	木	金
貸出冊数	8	5	0	6	9

この表では、水曜日に、０冊とまったく借りられていませんが、「０」のデータでも平均に含(ふく)めます。

貸出冊数の平均は、$(8+5+0+6+9)\div 5=5.6$　より、5.6冊です。

下は、Aさんの、5回の幅跳(はばと)びの結果を表したものです。

記録

回数	1	2	3	4	5
記録	158cm	167cm	161cm	327cm	164cm

４回目に、ほかの記録と大きくはなれた「327cm」という記録が出ていますが、はかりまちがえてしまったようです。

このような、記録ミスなどによる、大きくはなれたデータがあるときは、それをふくめずに平均を計算することがあります。

ここでは、平均は

$(158+167+161+164)\div 4=162.5$で、平均は162.5cmです。

平均の求め方のくふう

あるグループの5人の身長は、145cm,156cm,149cm,141cm,152cm となっています。この5人の身長の平均を求めてみましょう。

ふつうに計算すると $(145+156+149+141+152)\div 5=148.6(cm)$となりますが、これを計算するのは少し大変です。

そこで、くふうした平均の計算方法を考えてみましょう。

まず、5人の身長はすべて140cmより高いので、「5人の身長と140cmの差」の平均を求めて、それに140をたす という方法で平均を求めてみましょう。

まず、「5人の身長と140cmの差」の平均は $(5+16+9+1+12)\div 5=8.6(cm)$となります。

これに140をたすと 8.6+140=148.6 となり、これでも平均を求められます。

また、一番身長の低い人の身長は、141cmです。そこで、「5人の身長と141cmの差」の平均を求めて、それに141をたす という方法で平均を求めてみましょう。

まず、「5人の身長と141cmの差」の平均は $(4+15+8+0+11)\div 5=7.6(cm)$となります。

これに141をたすと 7.6+141=148.6 となり、これでも平均を求められます。

このように、くふうして平均を求めることができます。

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