振動と波動/複数粒子の振動

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2粒子の場合

質量m₁ , m₂ の2つの質点が、バネ定数k のバネによってつながれている2自由度系を考える。このとき、バネの方向にx 軸を取り、バネが動かない状況になっているときの質点m₁ の座標をx₁ 、質点m₂ の座標をx₂ とすると、運動方程式

${\begin{aligned}m_{1}{\ddot {x}}_{1}=&-k(x_{1}-x_{2})\qquad (1.1)\\m_{2}{\ddot {x}}_{2}=&k(x_{1}-x_{2})\qquad (1.2)\end{aligned}}$

が得られる。座標

${\begin{aligned}X&:={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\x&:=x_{1}-x_{2}\end{aligned}}$

を導入する。式(1.1)をm₂ 倍したものから、式(1.2)をm₁ 倍したものを引くと、

${\begin{aligned}&m_{1}m_{2}({\ddot {x}}_{1}-{\ddot {x}}_{2})=-k(x_{1}-x_{2})(m_{2}+m_{1})\\&m_{1}m_{2}{\ddot {x}}=-kx(m_{2}+m_{1})\\&\therefore \quad \mu {\ddot {x}}=-kx\qquad (2)\end{aligned}}$

が得られる。ここで、

$\mu :={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

と置いた。式(2)は単振動の方程式であり、v₁ , v₂ をそれぞれ質点m₁ 、質点m₂ の速度とすると、この解はv₁ = -v₂ のように単振動を行ない、その角振動数は、

$\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{\mu }}}$

で与えられることが分かる。

また、運動方程式(1.1), (1.2)を足し合わせると、

${\begin{aligned}&m_{1}{\ddot {x}}_{1}+m_{2}{\ddot {x}}_{2}=0\\&(m_{1}+m_{2}){\frac {m_{1}{\ddot {x}}_{1}+m_{2}{\ddot {x}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=0\\&\therefore \quad M{\ddot {X}}=0\end{aligned}}$

が得られる。ここで、

$M:=m_{1}+m_{2}$

である。これから、2物体の運動がx , X を使った座標で表され、X については自由な質点と同じ運動をすることが分かる。

このとき2物体の場合において、上で定義されたX を重心座標、x を相対座標と呼ぶ。

同じ問題を更に多くの粒子を扱うときのやり方で書くことも出来る。 式(1.1), (1.2)で与えられる運動方程式は、定数係数連立2階常微分方程式であるので通常の仕方で解くことが出来る。その方針にしたがって、

${\begin{aligned}x_{1}(t)&=a_{1}e^{i\omega t}\\x_{2}(t)&=a_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}$

（a₁ , a₂ は定数）とおく。このとき運動方程式は、

${\begin{aligned}-m_{1}\omega ^{2}a_{1}=&-k(a_{1}-a_{2})\\-m_{2}\omega ^{2}a_{2}=&k(a_{1}-a_{2})\end{aligned}}$

もしくは、

${\begin{aligned}(-m_{1}\omega ^{2}+k)a_{1}-ka_{2}=&0\\-ka_{1}+(k-m_{2}\omega ^{2})a_{2}=&0\end{aligned}}$

と書くことが出来る。ここでa₁ = a₂ = 0 はこの方程式の解であるが、それ以外の解があるとき

${\begin{vmatrix}-m_{1}\omega ^{2}+k&-k\\-k&k-m_{2}\omega ^{2}\end{vmatrix}}=0$

が成り立つことが必要である（線型代数では、このような方程式を固有方程式と呼ぶ）。これを解くと、

${\begin{aligned}m_{1}m_{2}\omega ^{4}+k(-m_{1}-m_{2})\omega ^{2}&=0\\\omega ^{2}(m_{1}m_{2}\omega ^{2}-(m_{1}+m_{2})k)&=0\end{aligned}}$

よって、

$\omega ^{2}=0,{\frac {k}{\mu }}$

より

$\omega =0,\pm {\sqrt {\frac {k}{\mu }}}$

となる。これは、上で求めた値と一致している。結局2物体の場合では、線型代数の固有方程式が容易に求められるということが言える。

多粒子の場合

粒子の数がさらに多い多自由度系の場合も、上で求めた方法を用いることが出来る。特に重要なのは、全ての質点が同じ質量m を持っており、バネ定数k のバネでつながれている場合である。

• 図

質点がN 個あるN 自由度系を考える。n 番目の質点の座標をu_n とすると、運動方程式は、

${\begin{aligned}m{\ddot {u}}_{n}&=-k(u_{n}-u_{n-1})+k(u_{n+1}-u_{n})\\&=k(u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1}),\\{\ddot {u}}_{n}&=\omega _{0}^{2}(u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1})\qquad (3)\end{aligned}}$

となる。これは、N 元連立定数係数2階常微分方程式であるので、やはり解くことが出来る。

$u_{n}=a_{n}e^{i\omega t}$

（a_n は定数）とおくと、

$-\omega ^{2}u_{n}=\omega _{0}^{2}(u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1})$

が得られる。これを行列の形で書くと、

${\begin{pmatrix}-2+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}&1&&&0\\1&-2+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}&1\\&1&-2+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}&\ddots \\&&\ddots &\ddots &1\\0&&&1&-2+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{1}^{2}\\u_{2}^{2}\\u_{3}^{2}\\\vdots \\u_{N}^{2}\end{pmatrix}}={\boldsymbol {0}}$

となる。この方程式を解くには一般にはこの行列の固有方程式を解かねばならない。幸いにもこの場合には固有ベクトルの形が知られており、それは、

${\begin{pmatrix}u_{1}^{2}\\u_{2}^{2}\\u_{3}^{2}\\\vdots \\u_{N}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin d\\\sin 2d\\\sin 3d\\\vdots \\\sin Nd\\\end{pmatrix}}$

（dは任意の実数）となる。 実際

${\begin{pmatrix}-2+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}&1&&&0\\1&-2+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}&1\\&1&-2+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}&\ddots \\&&\ddots &\ddots &1\\0&&&1&-2+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sin d\\\sin 2d\\\sin 3d\\\vdots \\\sin Nd\\\end{pmatrix}}$

を計算すると、第k 行目について

$\sin(k-1)d+\left(-2+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\right)\sin kd+\sin(k+1)d=2\sin kd\left(2\cos d-2+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\right)$

となり行列をかけた後の値も、sin kd ×(定数) の形をしていることがわかり、 確かにこのベクトルは、与えられた行列の固有ベクトルとなる。

連続極限への移行

前節でN 行N 列の大きな行列の固有ベクトルが簡単に求められたことを見た。実際にはこのことは上で見た行列の性質によっている。この性質を具体的に見るために、粒子の数がきわめて多く、粒子が連続的に分布していると見た場合を考える。

2階微分

${\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial ^{2}x}}(x)$

を離散的な量に直すことを考える。x を離散化してx_{i - 1} , x_i , x_{i + 1} などとしたとき、近似的に

${\begin{aligned}u'(x+h)&\sim {\frac {u(x_{i+1)}-u(x_{i})}{h}}\\u'(x)&\sim {\frac {u(x_{i})-u(x_{i-1})}{h}}\end{aligned}}$

と書けることに注目すると、

${\begin{aligned}u''(x)&\sim {\frac {u'(x+h)-u'(x)}{h}}\\&\sim {\frac {1}{h}}\left({\frac {u(x_{i+1)}-u(x_{i})}{h}}-{\frac {u(x_{i})-u(x_{i-1})}{h}}\right)\\&={\frac {u(x_{i+1})-2u(x_{i})+u(x_{i-1})}{h^{2}}}\end{aligned}}$

となる。分子の u_{i + 1} - 2u_i + u_{i - 1} は運動方程式(3)の右辺にも現れており、これが2階微分を表していることが分かる。 式(3)に代入すると、v をある定数として

$\left({\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{}}{\partial ^{2}t}}-{\frac {\partial ^{2}{}}{\partial ^{2}x}}\right)u(x,t)=0$

が得られる。この方程式を波動方程式と呼ぶ。 後に分かることだが、波動方程式は物体の運動を通じてエネルギーが伝搬して行く様子を表す方程式となっている。ここから先は、この方程式の性質を見て行く。