振動と波動/1粒子の振動

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単振動

物体が力

$f(x)=-kx$

を受けるときの運動を考える。このとき運動方程式は、

$m{\ddot {x}}(t)+kx(t)=0$

で表される。変数k を、k = m ω² の関係を使ってωに置き換えると、

${\ddot {x}}(t)+\omega ^{2}x(t)=0$

が得られる。この式は、定数係数線形2階微分方程式であるので簡単に解くことができ、解は、

$x(t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t$

となる。ここでA , B は任意定数であり、これらを決めるためには2つの初期条件が必要だが、ここでは特に、t = 0 で、

$x(0)=x_{0},\quad v(0)\equiv {\dot {x}}(t)=v_{0}$

とすると

$A=x_{0},\quad B={\frac {v_{0}}{\omega }}$

で表される。よって、この式の解は

${\begin{aligned}x(t)&=x_{0}\cos \omega t+{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin \omega t\\&={\sqrt {x_{0}^{2}+\left({\frac {v_{0}}{\omega }}\right)^{2}}}\cos(\omega t-\theta ),\quad \tan \theta ={\frac {v_{0}}{x_{0}\omega }}\end{aligned}}$

となる。この運動を単振動、ωを固有角振動数と呼ぶ。

速度に比例する抵抗力がある場合の単振動

次に力が

$f(x,{\dot {x}})=-kx-m\gamma {\dot {x}}$

で与えられる場合を考える。第2項は、速度に比例した力である。この様な力は空気抵抗などに見られる。この場合の運動方程式は

${\begin{aligned}m{\ddot {x}}(t)+m\gamma {\dot {x}}(t)+kx(t)&=0\\\therefore \quad {\ddot {x}}(t)+\gamma {\dot {x}}(t)+\omega ^{2}x(t)&=0\end{aligned}}$

となる。 これも定数係数の2階微分方程式なので解けるのだが、ここでは具体的に計算する。まず、

$x(t)=e^{at}$

と仮定する。これを運動方程式に代入すると

$a^{2}+\gamma a+\omega ^{2}=0$

が得られ、a は

$a_{\pm }={\frac {1}{2}}(-\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-4\omega ^{2}}})$

で与えられることが分かる。ここで、抵抗力の係数であるγが小さい数であるとするなら、根号の中身は負になり、この解は複素数によって与えられる。実部をとると一般解は

${\begin{aligned}x(t)&=Ae^{ia_{+}t}+Be^{ia_{-}t}\\&=e^{-\gamma t/2}\{\alpha \sin(t{\sqrt {\omega ^{2}-\gamma ^{2}/4}})+\beta \cos(t{\sqrt {\omega ^{2}-\gamma ^{2}/4}})\}\end{aligned}}$

となる（A , B , α, βは任意係数）。この解で、係数 exp(-γt /2) は粒子の運動が抵抗力を受けて時間的に減衰していく様子を示している。一方

$\alpha \sin(t{\sqrt {\omega ^{2}-\gamma ^{2}/4}})+\beta \cos(t{\sqrt {\omega ^{2}-\gamma ^{2}/4}})$

の項は、この物体がωに近い角振動数で振動していることを示している。この振動を減衰振動と呼ぶ。

強制振動

物体が単振動の力に加えて、周期的な外力を受けている場合を考える。このとき、

$f(x,t)=-kx+ml\sin \omega _{0}t$

となる（外力の大きさを表すパラメータとして、ここでは、後の計算を簡単にするために、パラメータをml という形に置いた）。

このとき運動方程式は、

${\begin{aligned}m{\ddot {x}}(t)+m\omega ^{2}x(t)&=ml\sin \omega _{0}t\\\therefore \quad {\ddot {x}}(t)+\omega ^{2}x(t)&=l\sin \omega _{0}t\end{aligned}}$

となる。この式は、定数係数2階常微分方程式に加えて、右辺に関数項が加わった形をしている。このとき特別な解の形を予測して、この方程式の特解を求めることが出来る。ここでは、解を

$x(t)=C\sin \omega _{0}t$

と仮定する。これを運動方程式に代入すると

${\begin{aligned}&(-C\omega _{0}^{2}+\omega ^{2}C)\sin \omega _{0}t=l\sin \omega _{0}t\\&\therefore \quad C={\frac {l}{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\end{aligned}}$

が得られる。よって、

$x(t)={\frac {l}{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})}}\sin \omega _{0}t$

は、この方程式の特解となる。左辺の線形方程式に対する一般解を加えると、この方程式全体に対する解は、

$x(t)={\frac {l}{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\sin \omega _{0}t+A\sin \omega t+B\cos \omega t$

と表される。

この式は、2つの部分に分かれている。まず後半の

$A\sin \omega t+B\cos \omega t$

の部分は、物体が外力を受けていても、単振動と同じ角振動数の運動を繰りかえすことを表しており、次に前半の

${\frac {l}{-\omega _{0}^{2}+\omega ^{2}}}\sin \omega _{0}t$

の部分は、外力と同じ角振動数$\omega _{0}$の周期的な運動が引き起こされることを表している。

この式を見ると、ω = ω₀ のとき、x (t ) の値が無限大になるように見える。実際、系の固有角振動数ωと外力の角振動数ω₀ が近いとき、物体にきわめて大きな振動が引き起こされることが知られている。この現象を共鳴と呼ぶ。

共鳴の場合にx が無限大になるという結果がでたのは、もちろん物理的におきることではなく、上の解法（特に特解として仮定した形）が不十分だったことを意味する。正しい解を求めるには解として仮定する形をより広げなければならないが、それとは別に物理的によりわかりやすい方法もある。アイデアは「上の解法で得た解はωとω₀ が少しでも違えばうまくいく。一方、パラメータを連続的に変えると現象も（多分）連続的に変わるはずだから、ω = ω₀ の場合というのは、ω₀→ω の極限として得られるはずである。だから上の解でその極限を取れば共鳴の場合の正しい解も得られる。」ということである。但し、上の解で単純にその極限をとってももちろんうまくいかない。係数A , B が意味を失うからである。そこでA , B の代りに常にはっきりした物理的意味を持つ量、すなわち初期条件（t = 0 でのx , dx /dt の値）を使って上の解を書き直し、その上でω₀→ω の極限を取る。t = 0 でx (0) = X , dx (0)/dt = V とすると

$A={\frac {1}{\omega }}\left(V+{\frac {l\omega _{0}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right),\quad B=X$

になるので解は

${\begin{aligned}x(t)&={\frac {l}{-\omega _{0}^{2}+\omega ^{2}}}\sin \omega _{0}t+{\frac {1}{\omega }}\left(V+{\frac {l\omega _{0}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right)\sin \omega t+X\cos \omega t\\&={\frac {l}{\omega (\omega _{0}+\omega )}}{\frac {\omega \sin \omega _{0}t-\omega _{0}\sin \omega t}{-\omega _{0}+\omega }}+{\frac {V}{\omega }}\sin \omega t+X\cos \omega t\end{aligned}}$

となる。こうした上でω₀→ω の極限を取ると、極限は確かに存在して次のようになる：

$x(t)={\frac {l}{2\omega ^{2}}}(\sin \omega t-\omega t\cos \omega t)+{\frac {V}{\omega }}\sin \omega t+X\cos \omega t$

特に重要なのは第2項で、cosにt が掛かっている点である。振動の振幅が時間に比例して増大していくのである。この結果から共鳴の本質が分かる。つまり共鳴では外力から与えられるエネルギーが蓄積されていくというのが本質で、そのため振幅が時間とともに果てしも無く大きくなっていくのである（一休さんの有名なエピソードで、お寺の鐘を指一本で大きく動かすというのがある。正確な周期で指で押すことを続けると共鳴により少しづつエネルギーが蓄積されて最後には大きな振動になる）。

なお、上の解法では現象のパラメータ変化に対する連続性を前提としている。この前提はたいてい成り立つが、どんな場合でもとまではいかない。今の場合にどうかを確認するには得られた解を元の微分方程式（でω₀ = ωとしたもの）に代入すればよい。確かに解になっていることが分かる。また、ω₀ がωに近づくにつれ振動のグラフがどう変わって行くかを見るのも興味深い。