数学演習/中学校2年生/連立方程式/解答

数学演習 中学校2年生

中学校数学 2年生-数量/連立方程式

問題はこちらにあります。

連立方程式(1)

(1)$(x,y)=(2,-2)$

$\left\{{\begin{matrix}y=-x\\x-y=4\end{matrix}}\right.$

上の式を下のyに代入する。

$x-(-x)=4$

となり2x=4、つまりx=2が求められる。上の式に戻りx=2を代入するとy=-2となる。

(2)$(x,y)=(1,3)$

$\left\{{\begin{matrix}y=3x\\x+2y=7\end{matrix}}\right.$

ここでも上の式を下のyに代入する。

$x+2(3x)=7$

となり7x=7、つまりx=1が求められる。上の式に戻りx=1を代入するとy=3となる。

(3)$(x,y)=(-6,3)$

$\left\{{\begin{matrix}x=-2y\\2x+y=-9\end{matrix}}\right.$

x=...という形になっているため下のxに入れたほうが楽。

$2(-2y)+y=-9$

となり-3y=-9、つまりy=3が求められる。上の式に戻りy=3を代入するとx=-6となる。

(4)$(x,y)=({\frac {1}{3}},{\frac {1}{9}})$

$\left\{{\begin{matrix}y={\frac {1}{3}}x\\2x+3y=1\end{matrix}}\right.$

上の式の両辺3倍して$3y=x$とし下のxに代入してもよいが、ここでは素直に下のyに代入してみる。

$2x+3({\frac {1}{3}}x)=1$

となり3x=1、つまり$x={\frac {1}{3}}$が求められる。上の式に戻り$x={\frac {1}{3}}$を代入すると$y={\frac {1}{9}}$となる。

(5)$(x,y)=(2,7)$

$\left\{{\begin{matrix}y=2x+3\\3x+2y=20\end{matrix}}\right.$

上の式を下のyに代入する。

$3x+2(2x+3)=20$

となり7x=14、つまりx=2が求められる。上の式に戻りx=2を代入するとy=7となる。

連立方程式(2)

(1)$(x,y)=(7,-2)$

$\left\{{\begin{matrix}x+y=5\\x-y=9\end{matrix}}\right.$

上の式と下の式を足すとyが消去できる。また、上の式から下の式を引くとxが消去できる。好きなほうを消去してよいが、ここではyを消去する。

${\begin{matrix}(x+y)+(x-y)&=&5+9\\2x&=&14\\x&=&7\end{matrix}}$

xが求まったので元の上下どちらかの式にx=7を代入するとy=-2となる。

(2)$(x,y)=(5,3)$

$\left\{{\begin{matrix}x+3y=14\\3x+3y=24\end{matrix}}\right.$

係数が合っている場合はその文字を消去すると簡単。上の式から下の式を引いてyを消去する。

${\begin{matrix}(x+3y)-(3x+3y)&=&14-24\\-2x&=&-10\\x&=&5\end{matrix}}$

xが求まったので元の上の式か下の式のどちらか（上の式のほうが簡単)にx=5を代入するとy=3となる。

(3)$(x,y)=(-2,3)$

$\left\{{\begin{matrix}3x+2y=0\\5x-y=-13\end{matrix}}\right.$

上下の式を足したり引いたりするだけでは文字を消去できないので、この場合はどちらかの式を整数倍して係数を揃える。ここでは下の式を2倍する。

$\left\{{\begin{matrix}3x+2y=0\\10x-2y=-26\end{matrix}}\right.$

ここで上の式と下の式を足すことで文字を消去できる形になった。ここまで来れば(2)までの解き方と同様。x=-2、y=3となる。

(4)$(x,y)=(-4,7)$

$\left\{{\begin{matrix}2x+5y=27\\3x+2y=2\end{matrix}}\right.$

これはどちらかの式を整数倍しても係数が合わない形である。xを${\frac {3}{2}}$倍もしくはyを${\frac {5}{2}}$倍すればどちらかを消去できるが式に分数が入り面倒な形になるのでおすすめはしない。この場合は上の式を3倍、下の式を2倍にしxの係数を揃える。

$\left\{{\begin{matrix}6x+15y=81\\6x+4y=4\end{matrix}}\right.$

ここで上の式から下の式を引くことで文字を消去できる形になった。ここまで来れば(2)までの解き方と同様。x=-4、y=7となる。

連立方程式(3)

ごく一部の例外を除けば以下の法則が成り立つ。

• 式の本数と未知数の数が等しいならば解は一意に定まる。
• 未知数の数が式の本数より多ければ解は複数存在する。
• 式の本数が未知数の数より多ければ解は存在しない。

ごく一部の例外は連立されている式のうち少なくとも2式が、グラフを書いた際同一の直線であることを示す場合である。例えば以下のようなものは上記の例外で式が複数存在する連立方程式となる。解は$x+2y=6$を満たす(x,y)の組全てである。

$\left\{{\begin{matrix}x+2y=6\\2x+4y=12\end{matrix}}\right.$

(1)$(x,y,z)=(4,-1,3)$

$\left\{{\begin{matrix}x+y=z\\x+2y+3z=11\\3x-2y-z=11\end{matrix}}\right.$

文字と式が3組以上になっても行うことは変数を1つずつ消去していくことである。この場合は上の式がx+y=zとなっているので代入法を用いて中央の式と下の式のzを消去する。

(中央)$x+2y+3(x+y)=11$よって$4x+5y=11$

(下)$3x-2y-(x+y)=11$よって$2x-3y=11$

この2式を更に連立して解く。元の3式と区別するために連立させた2式を上’、下’とする。

$\left\{{\begin{matrix}4x+5y=11\\2x-3y=11\end{matrix}}\right.$

下’の式を2倍する。

$\left\{{\begin{matrix}4x+5y=11\\4x-6y=22\end{matrix}}\right.$

ここで上’の式から下’の式を引くことでyを消去できる形になった。11y=-11なのでy=-1、2式の連立の場所まで戻ってx=4、元の3式まで戻ってz=3となる。

(2)$(x,y,z)=(-5,7,2)$

$\left\{{\begin{matrix}2x-3y+5z=-21\\5x+4y-2z=-1\\-3x+2y+3z=35\end{matrix}}\right.$

代入法で解くには分数が出てくることから少々苦しいので、加減法を利用する。式をうまくいじって文字を1つ消去する。ここではyを消去することを考えてみる。上の式を4倍したものと中央の式を3倍したものを足す式が1つ目、中央の式から下の式の2倍したものを引く式が2つ目である。この2つの式を計算してyを消去した2式を作る。

(1つ目)$4(2x-5y+5z)+3(5x+4y-2z)=4\times (-21)+3\times (-1)$よって$23x+14z=-87$

(2つ目)$(5x+4y-2z)-2(-3x+2y+3z)=-1-2\times 35$よって$11x-8z=-71$

この2式を更に連立して解く。元の3式と区別するために連立させた2式を上’、下’とする。

$\left\{{\begin{matrix}23x+14z=-87\\11x-8z=-71\end{matrix}}\right.$

上’の式を4倍、下’の式を7倍する。

$\left\{{\begin{matrix}92x+56z=-348\\77x-56z=-497\end{matrix}}\right.$

ここで上’の式と下’の式を足すことでzを消去できる形になった。169x=-845なのでx=-5、2式の連立の場所まで戻ってz=2、元の3式まで戻ってy=7となる。

連立方程式の利用

(1)(答)毎分8リットルで入れた時間は26分、毎分12リットルで入れた時間は6分

毎分8リットルで入れた時間をx分、毎分12リットルで入れた時間をy分として連立方程式を立てる。

まずは時間で式を作る。x分とy分の時間の合計が32分なので、

$x+y=32$

である。

続いて流量で式を作る。毎分8リットルでx分、毎分12リットルでy分流して280リットルの浴槽が満杯となったとあるから、

$8x+12y=280$

となる。これらの式を連立して解く。ここでは時間の式を$x=32-y$に変形してから代入法を用いる。

${\begin{matrix}8(32-y)+12y&=&280\\256-8y+12y&=&280\\4y&=&280-256\\4y&=&24\\y&=&6\end{matrix}}$

となり、$y=6$である。時間の式に戻れば$x=26$と求められる。

(2)解答:食塩水Aが300グラム、食塩水Bが200グラム

解説:(ここでは食塩水Aの量を $x$ グラム、食塩水Bの量を $y$ グラムとする。ただし、問題文に規定がないため、これらの文字を読みかえてほしい。)まず、「10%の食塩水Aに含まれる食塩の量xグラム」を「$0.1x$」とし、「15%の食塩水Bに含まれる食塩の量yグラム」を「$0.15y$」とする。次に、これらを足すと「12%の食塩水500グラムに含まれる食塩の量」を「$12\times 5$」、計算して60とする。さらに、この$x$と$y$は合計すると500グラムになることが分かるので「$x+y=500$」とできる。この2つの式で連立方程式を立てて計算することによりそれぞれが求まる。

${\begin{cases}0.1x+0.15y=60\\x+y=500\end{cases}}$

${\begin{array}{lcl}\rightarrow 5000-10y+15y&=&6000\\5y&=&1000\\y&=&200\end{array}}$

以上より、Bの量は200グラムであると分かる(誤ってAの量にしないように注意)。さらに計算すると $x=300$ と分かる。この場合は代入法で求めたが、加減法を使用したり、先に食塩水Bの量を求めても連立方程式の性格上同じ答えになる。

(3)

解答:大人2人と子ども5人の班14班、大人3人と子ども7人の班9班

解説:大人2人と子ども5人の班を$x$班、大人3人と子ども7人の班を$y$班として連立方程式を作るには、大人と子供の数に注目すればいい。

大人2人と子ども5人の班の大人の人数の合計と、大人3人と子ども7人の班の大人の人数の合計の和は、55人である。
また、大人2人と子ども5人の班の子どもの人数の合計と、大人3人と子ども7人の班の子どもの人数の合計の和は、133人である。
このことから連立方程式をつくると、
${\begin{cases}2x+5y=55\\3x+7y=133\end{cases}}$
となる。

(4)

解答:105人、120ninn

解説:

(5)

解答:686

解説:

${\begin{cases}x+y+x=20\\100y+10x+x=100x+10y+x+180\end{cases}}$

なお、$100y+10x+x$は百の位と十の位を入れ替えた数である。

${\begin{cases}2x+y=20\\y=x+2\end{cases}}$

$2x+x+2=20$

$3x=18$

$x=6$

このようにして、$x$が$6$であることを求めることができる。また、同様にするか、代入するかして$y$が$8$であることも求められる。元の自然数は$10x+10y+x$であるので、この自然数は$686$であると分かる。

(6)

解答:13匹

解説:最初、鶴が$x$匹、亀が$y$匹いたとすると、

$2x+4y=54$となる。鶴と亀の数を入れ替えた時の式は $4x+2y=66$という式が成り立つ。

この2つの式を連立させて解くのだが、2つの式を足し合わせて

$6x+6y=120$より、 $2x+2y=40$という式を立ててしまうのがよいだろう。

よって、$x=13$、$y=7$より、$x,y$はともに自然数であるため、問に適する。

よって13匹