数学演習/中学校2年生/1次関数/解答

数学演習中学校2年生

中学校数学 2年生-数量/一次関数

問題はこちらにあります。

1次関数の式(1)

(1)a=3,b=5

x=0の時のyの値が切片なのでbはすぐに分かる。xが1増加するとyが3増加しているので傾きaは3になる。

(2)a=-6,b=-38

xが1増加するとyが-6増加しているので傾きaは-6になる。bは(-2,-26)から-6×2をすると求められる。

(3) $a={\frac {2}{9}},b={\frac {52}{9}}$

xが3増加するとyが ${\frac {2}{3}}$ 増加しているので傾きaは ${\frac {2}{9}}$ 、bは $(4,{\frac {20}{3}})$ から ${\frac {2}{9}}\times (-4)$ をすると求められる。

(4)a=0,b=7

xがいくつであってもyは7であるので傾きaは0、切片bは7になる。

1次関数の式(2)

y=-2x+5
y=4x+7
$y={\frac {1}{2}}x+6$
$y=-{\frac {4}{5}}x-{\frac {23}{5}}$ (y=0.8x-4.6)
x=4

1次関数の利用

種別		料金(税込)
基本料金		x円
使用電力料金 (1kwhあたり)	最初の120kwh以下(第1段階)	y円
	120kwhを超え300kwh以下(第2段階)	z円
	300kwhを超える(第3段階)	32円

(1)x=925、y=19

基本料金+第1段階の電力使用量×第1段階の料金=支払う料金の連立方程式を立てる。
両方120kwh以下なので第2段階以降を考える必要はない。

\left\{{\begin{matrix}x+70y=2255\\x+115y=3110\end{matrix}}\right.

(2)前半、z=27

第1段階を一杯まで使用した時の料金は925+120×19=3205円である。
これを超過した分だけ第2段階の料金が適用されることになる。第2段階が適用される電力量は150-120=30kwhである。
これをzの係数にして方程式を立てる。(zの係数は150でないことに注意)

$3205+30z=4015$

(2)後半、7390円

要領は前半と同様。第2段階が適用される電力量は275-120=155kwhである。
料金は $925+120\times 19+155\times 27$ で求められる。

(3)450kwh

第2段階までを一杯まで使用した時の料金は925+120×19+180×27=8065円である。
これを超過した分だけ第3段階の料金1kwhあたり32円を払うことになるので第3段階が適用される電力量をwとして方程式を立てる。

$8065+32w=12865$

w=150kwhは第3段階だけの量なので第1段階の使用量120kwhと第2段階の使用量180kwhも合計する。

(4)電力使用量をa、料金をbとすると以下の式で表される。

$b={\begin{cases}19a+925&(0\leqq a\leqq 120),\\27a-35&(120<a\leqq 300),\\32a-1535&(300<a)\end{cases}}$

1番目の式は切片925、傾き19になる。
2番目の式の切片は925+19×120と27×120の差分を取った-35になる。傾きは27。
3番目の式の切片も同様に925+19×120+27×180と32×300の差分を取って-1535である。傾きは32。
いずれも範囲の付け忘れに注意。

(5)略

1次関数とグラフ

(1)18

x軸とy軸の交点は原点。x軸(y=0)とy=-x+6の交点は(6,0)。y軸(x=0)とy=-x+6の交点は(0,6)。この場合は底辺と高さが既に分かっているので ${\frac {6\times 6}{2}}=18$ となる。

(2) ${\frac {15}{4}}$

x軸とy=3xの交点は原点。x軸とy=-2x+5の交点は $({\frac {5}{2}},0)$ 。

y=3xとy=-2x+5の交点は

\left\{{\begin{matrix}y=3x\\y=-2x+5\end{matrix}}\right.

の連立方程式を(代入法で)解いて、 $(x,y)=(1,3)$ 。

この場合も底辺と高さが既に分かっているので ${\frac {5}{2}}\times 3\times {\frac {1}{2}}={\frac {15}{4}}$ となる。

(3) ${\frac {20}{3}}$

y=xとy=3xの交点は原点。y=xとy=-2x+10の交点は　　

\left\{{\begin{matrix}y=x\\y=-2x+10\end{matrix}}\right.

の連立方程式を(代入法で)解いて、 $(x,y)=({\frac {10}{3}},{\frac {10}{3}})$ 。

また、y=3xとy=-2x+10の交点も同様に連立方程式

\left\{{\begin{matrix}y=3x\\y=-2x+10\end{matrix}}\right.

を(同じく代入法で)解いて、 $(x,y)=(2,6)$

この問題ではx軸、もしくはy軸に平行な線分がないのですぐには求められない。この場合はこの三角形がちょうど収まるような長方形を考えて、余分な三角形を取り除く。

この場合上端は $y=6$ ・下端は $y=0$ (x軸)・左端は $x=0$ (y軸)・右端は $x={\frac {10}{3}}$ で囲まれた長方形Aを考える。

余分な三角形は

$(0,0),(0,{\frac {10}{3}}),({\frac {10}{3}},{\frac {10}{3}})$ の三角形B
$(0,0),(0,6),(2,6)$ の三角形C
$({\frac {10}{3}},{\frac {10}{3}}),(2,6),({\frac {10}{3}},6)$ の三角形D

の3種類である。

まず、長方形Aの面積は

6\times {\frac {10}{3}}=20

である。

余分な3種類の三角形B・C・Dの面積は

(三角形B)

{\frac {{\frac {10}{3}}\times {\frac {10}{3}}}{2}}={\frac {50}{9}}

(三角形C)

{\frac {6\times 2}{2}}=6

(三角形D)

{\frac {({\frac {10}{3}}-2)\times (6-{\frac {10}{3}})}{2}}={\frac {16}{9}}

長方形の面積から余分な3種類の三角形の面積を引くと、 $20-{\frac {50}{9}}-6-{\frac {16}{9}}={\frac {20}{3}}$ となり問題で求める三角形の面積になった。

(公式) 三角形の頂点のうち1つが原点・残り2頂点の座標を(a,b)(c,d)・三角形の面積をSとすると、

S={\frac {|ad-bc|}{2}}

と表される。ここで|ad-bc|とはad-bcの絶対値のことである。三角形の頂点が全て原点にない場合は任意の1つの点が原点に重なるように平行移動してあげればよい。

この公式を用いると、 $(0,0),({\frac {10}{3}},{\frac {10}{3}}),(2,6)$ の三角形の面積は

{\frac {|{\frac {10}{3}}\times 6-{\frac {10}{3}}\times 2|}{2}}={\frac {20}{3}}

と簡単に求められる。