測度論的確率論/準備/集合/写像

写像

定義13. $\quad$ 二つの集合 $M,N$ が与えられているとする．任意の $a\in M$ に対して，ある $f(a)\in N$ が対応するとき $f$ を $M$ から $N$ への写像といい， $f:M\to N$ と表す．

定義14. $\quad$ $A\subset M$ に対し，

f(a)\equiv \{f(a)\in N:a\in A\}

を $A$ の（ $f$ による）像といい，特に $f(M)=N$ のときに $f$ を全射という．

定義15. $\quad$ 全射であるとは

任意の

b\in N

に対して

a\in M

で

b=f(a)

となるものが存在する．

定義14は定義15といってもよい．また $f$ が１対１，すなわち

定義16. $\quad$

a,a'\in M

で

f(a)=f(a')

であれば

a=a'

の成り立つときに $f$ は単射という．

さらに

定義17. $\quad$ $f$ が全射でありかつ単射のときに全単射という．

定義18. $\quad$ $A\subset N$ に対して

f^{-1}(A)\equiv \{a\in M:f(a)\in A\}

のとき， $f^{-1}(A)$ は $A$ の（ $f$ による）逆像という^[1]．

定義19. $\quad$ 特に $f$ が $M$ から $N$ への全単射であれば $b\in N$ に対して $b=f(a)$ となる $a\in M$ が一意的に定まるから $f^{-1}(b)=a$ によって逆写像 $f^{-1}$ を定義する．このとき $f^{-1}$ も全単射であり，集合 $A\subset N$ による逆像は， $A$ の逆写像 $f^{-1}(A)$ に一致する．

演習2. $\quad$ $M=[-1,1],\quad N=\mathbf {R} ,\quad f(a)=a^{2}$ とするとき $f\left(\left[0,{\frac {1}{2}}\right]\right),\quad f^{-1}\left(\left[0,{\frac {1}{2}}\right]\right)$ を求めよ．

(解答例)

$f\left(\left[0,{\frac {1}{2}}\right]\right)=\left[0,{\frac {1}{4}}\right],\quad f^{-1}\left(\left[0,{\frac {1}{2}}\right]\right)=\left[-{\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]$ ．

定理5. $\quad$ $f:M\to N$ について次の命題が成り立つ．

$A\subset M$ であれば $A\subset f^{-1}(f(A))$

証明 $\quad$

$y\in f(A)$ とすると $f$ が単射でない場合 $f(x_{1})=y$ である $x_{1}\in A$ が存在することは必要であるが，同時に $f(x_{2})=y,\quad x_{2}\not \in A$ となる $x_{2}\in M$ が存在する可能性がある．よって $A\subset f^{-1}(f(A))\subset M$ ．

（証明終）

定理6. $\quad$ $f:M\to N$ について次の命題が成り立つ．

$A,B\subset M$ であれば $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$ かつ $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$ ．

証明 $\quad$

定義より任意の $y\in f(A\cup B)$ に対して，ある $x\in A\cup B$ で $y=f(x)$ となるものが存在する．このとき $x\in A$ または $x\in B$ であるから $y=f(x)\in f(A)$ または $y\in f(B)$ ．すなわち， $y\in f(A\cup B)$ ならば $y\in f(A)$ または $y\in f(B)$ ．よって $f(A\cup B)\subset f(A)\cup f(B)$ ．…①
逆は，明らかに $f(A)\subset f(A\cup B),f(B)\subset f(A\cup B)$ だから $f(A)\cup f(B)\subset f(A\cup B)$ ^[2]．…②
①②より $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$

さらに $A\cap B\subset A,A\cap B\subset B$ であるから $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$ ^[3]^[4]．（証明終）

定理7. $\quad$ $f:M\to N$ について次の命題が成り立つ．

$A,B\subset N$ であれば $f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$ ．

証明 $\quad$

定義より任意の $x\in f^{-1}(A\cup B)$ について $f(x)\in A\cup B$ すなわち $f(x)\in A$ または $f(x)\in B$ となる．したがって $x\in f^{-1}(A)$ または $x\in f^{-1}(B)$ であり，ゆえに $f^{-1}(A\cup B)\subset f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$ ．逆はあきらかに $f^{-1}(A)\subset f^{-1}(A\cup B),f^{-1}(B)\subset f^{-1}(A\cup B)$ であるから $f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)\subset f^{-1}(A\cup B)$ ^[5]．（証明終）

定理8. $\quad$ $f:M\to N$ について次の命題が成り立つ．

$A,B\subset N$ であれば $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ ．

証明 $\quad$

$x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ のとき^[6] $x\in f^{-1}(A)$ かつ $x\in f^{-1}(B)$ ．ゆえに $f(x)\in A$ かつ $f(x)\in B$ ．ゆえに $f(x)\in A\cap B$ ．ゆえに $x\in f^{-1}(A\cap B)$ ．すなわち $x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ ならば $x\in f^{-1}(A\cap B)$ だから $f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)\subset f^{-1}(A\cap B)$ ．

逆については， $A\cap B\subset A$ かつ $A\cap B\subset B$ ，よって $f^{-1}(A\cap B)\subset f^{-1}(A),f^{-1}(A\cap B)\subset f^{-1}(B)$ より $f^{-1}(A\cap B)\subset f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ ^[7]．（証明終）

定理9. $\quad$ $f:M\to N$ について次の命題が成り立つ．

$A\subset N$ であれば $f^{-1}(A^{C})=(f^{-1}(A))^{C}$ ．

証明 $\quad$

（証明終）

^ 逆像 $f^{-1}$ は写像ではない．さらにこの定義を「 $f^{-1}(A)$ は， $\forall x(x\in f^{-1}(A)\to f(x)\in A)$ かつ $\forall x(x\not \in f^{-1}(a)\to f(x)\not \in A)$ を満たす」と解釈する．
^ $A\subset C$ かつ $B\subset C$ ならば $A\cup B\subset C$ ．
^ $A\cap B\subset A$ かつ $A\cap B\subset B$ ，従って $f(A\cap B)\subset f(A)$ かつ $f(A\cap B)\subset f(B)$ ．これに「 $C\subset A$ かつ $C\subset B$ ならば $C\subset A\cap B$ 」を適用すれば， $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$ が誘導される．
^ 一方「 $f(A)\cap f(B)\subset f(A\cap B)$ 」とはいえない．例えば $f$ が単射でなく、 $x_{1}\in A$ で $y=f(x_{1})$ かつ同じ $y$ で $x_{2}\in B,x_{2}\not \in A,y=f(x_{2})$ の場合、 $y=f(x_{1}),x_{1}\in A$ より $y\in f(A)$ ．それと同時に $y=f(x_{2})\in B$ より $y\in f(B)$ でもある．すなわち、 $y\in f(A)\cap f(B)$ . つまり $f$ が単射でないので、 $x_{2}\not \in A$ であっても $y=f(x_{2}),x_{2}\in B$ である限り $y\in f(A)\cap f(B)$ ．一つの $x\in M$ に対して $y=f(x)$ は必ず一つの値に定まるが、逆に一つの $y$ を決めるとその $y$ に対して $y=f(x)$ を満たす $x$ が複数存在する可能性があるという、そもそもの写像の定義に、この式が等号ではないことの理由の本質があり、これは定理5も同様である．実際演習2の $f$ にて $A=\left[-{\frac {1}{\sqrt {2}}},0\right),B=\left[0,+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]$ のとき、 $f(A)\cap f(B)=\left[0,{\frac {1}{2}}\right],A\cap B=\emptyset ,f(A)\cap f(B)\not \subset f(A\cap B)$ ．
^ $A\subset C,B\subset C\therefore A\cup B\subset C$
^ さて，いきなり冒頭からこう書き下してしまってよいのだろうか？そもそも定理6 の後半部分は等号ではなかったというのに、 $f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)\neq \emptyset$ である保証はあるのだろうか？これは「逆像 $f^{-1}$ は実は写像ではない」という点に注意して以下のように説明できる．
定義18 の註の定義を仮定すると， $f^{-1}(A)$ および $f^{-1}(B)$ は以下の4式をすべて満たす，すなわち
$\forall x(x\in f^{-1}(A)\to f(x)\in A)$ …①， $\forall x(x\not \in f^{-1}(A)\to f(x)\not \in A)$ …②， $\forall x(x\in f^{-1}(B)\to f(x)\in B)$ …③， $\forall x(x\not \in f^{-1}(B)\to f(x)\not \in B)$ …④．
特に②④より， $\forall x(x\in f^{-1}(A)\lor f(x)\not \in A)$ …②’， $\forall x(x\in f^{-1}(B)\lor f(x)\not \in B)$ …④’．今， $f(x)\in A\cap B$ であるとき $f(x)\in A$ ，したがって ②’が真となるためには $x\in f^{-1}(A)$ が成立する必要がある．また同様に $f(x)\in B$ より ④’が真となるためには $x\in f^{-1}(B)$ が成立する必要がある．以上より $f(x)\in A\cap B$ ならば $x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ ．→すごくおかしい…検討が必要、ここでストップ
^ $C\subset A,C\subset B\therefore C\subset A\cap B$ ．

[1] 逆像 $f^{-1}$ は写像ではない．さらにこの定義を「 $f^{-1}(A)$ は， $\forall x(x\in f^{-1}(A)\to f(x)\in A)$ かつ $\forall x(x\not \in f^{-1}(a)\to f(x)\not \in A)$ を満たす」と解釈する．

[2] $A\subset C$ かつ $B\subset C$ ならば $A\cup B\subset C$ ．

[3] $A\cap B\subset A$ かつ $A\cap B\subset B$ ，従って $f(A\cap B)\subset f(A)$ かつ $f(A\cap B)\subset f(B)$ ．これに「 $C\subset A$ かつ $C\subset B$ ならば $C\subset A\cap B$ 」を適用すれば， $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$ が誘導される．

[4] 一方「 $f(A)\cap f(B)\subset f(A\cap B)$ 」とはいえない．例えば $f$ が単射でなく、 $x_{1}\in A$ で $y=f(x_{1})$ かつ同じ $y$ で $x_{2}\in B,x_{2}\not \in A,y=f(x_{2})$ の場合、 $y=f(x_{1}),x_{1}\in A$ より $y\in f(A)$ ．それと同時に $y=f(x_{2})\in B$ より $y\in f(B)$ でもある．すなわち、 $y\in f(A)\cap f(B)$ . つまり $f$ が単射でないので、 $x_{2}\not \in A$ であっても $y=f(x_{2}),x_{2}\in B$ である限り $y\in f(A)\cap f(B)$ ．一つの $x\in M$ に対して $y=f(x)$ は必ず一つの値に定まるが、逆に一つの $y$ を決めるとその $y$ に対して $y=f(x)$ を満たす $x$ が複数存在する可能性があるという、そもそもの写像の定義に、この式が等号ではないことの理由の本質があり、これは定理5も同様である．実際演習2の $f$ にて $A=\left[-{\frac {1}{\sqrt {2}}},0\right),B=\left[0,+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]$ のとき、 $f(A)\cap f(B)=\left[0,{\frac {1}{2}}\right],A\cap B=\emptyset ,f(A)\cap f(B)\not \subset f(A\cap B)$ ．

[5] $A\subset C,B\subset C\therefore A\cup B\subset C$

[6] さて，いきなり冒頭からこう書き下してしまってよいのだろうか？そもそも定理6 の後半部分は等号ではなかったというのに、 $f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)\neq \emptyset$ である保証はあるのだろうか？これは「逆像 $f^{-1}$ は実は写像ではない」という点に注意して以下のように説明できる．
定義18 の註の定義を仮定すると， $f^{-1}(A)$ および $f^{-1}(B)$ は以下の4式をすべて満たす，すなわち
$\forall x(x\in f^{-1}(A)\to f(x)\in A)$ …①， $\forall x(x\not \in f^{-1}(A)\to f(x)\not \in A)$ …②， $\forall x(x\in f^{-1}(B)\to f(x)\in B)$ …③， $\forall x(x\not \in f^{-1}(B)\to f(x)\not \in B)$ …④．
特に②④より， $\forall x(x\in f^{-1}(A)\lor f(x)\not \in A)$ …②’， $\forall x(x\in f^{-1}(B)\lor f(x)\not \in B)$ …④’．今， $f(x)\in A\cap B$ であるとき $f(x)\in A$ ，したがって ②’が真となるためには $x\in f^{-1}(A)$ が成立する必要がある．また同様に $f(x)\in B$ より ④’が真となるためには $x\in f^{-1}(B)$ が成立する必要がある．以上より $f(x)\in A\cap B$ ならば $x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ ．→すごくおかしい…検討が必要、ここでストップ

[7] $C\subset A,C\subset B\therefore C\subset A\cap B$ ．

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]