熱力学/可逆過程

カルノーサイクル

カルノーサイクル.

等温変化や断熱変化の考察で求まった公式を用いて、熱機関の理論的な効率を調べよう。 まず、熱源として、高温熱源T1と低温熱源T2を用意する。熱サイクルとして、

高温熱源による等温膨張　→　断熱膨張　→　低温熱源による等温収縮　→　断熱圧縮

というサイクルを考える。 このようなサイクルをカルノーサイクル（Carnot cycle）という。

なぜ、このようなサイクルなのかというと、まず高温熱源から熱を貰う間は、気体温度は高温熱源の温度と均衡してるとして、等温膨張としよう。 高温熱源から熱をもらい終わったあと、低温圧縮される前に、等温変化以外で仕事をして、内部気体の温度を低温熱源の温度まで下げるとしよう。（収縮時も気体の温度が熱源と同じほうが理論的に扱いやすい。） 等温変化の膨張のあとの変化は、あまり余計なエネルギー源を増やしたくないので、理論的に扱いやすいのは、断熱変化とするのが、扱いやすい。（定積変化や定圧変化にすると、機関が外部からエネルギーを貰うことになるので、変数が増えて、面倒になる。）

ともかく、カルノーサイクルで行われる仕事を求めよう。

まず図の点1から点2の間の仕事W12は等温膨張での仕事なので、高温熱源の温度をT2とすれば、公式より、

$W_{12}=nRT_{2}\log {\frac {V_{2}}{V_{1}}}$

である。

図の点2から点3の間の仕事W12は断熱膨張での仕事であり、ポアソンの公式 $pV^{\gamma }=K_{1}$ より（K1は定数とする）、

$W_{23}=\int _{V_{2}}^{V_{3}}pdV=K_{1}\int _{V_{2}}^{V_{3}}V^{-\gamma }dV={\frac {K_{1}}{1-\gamma }}[V^{1-\gamma }]_{V_{2}}^{V_{3}}$

$={\frac {K_{1}}{\gamma -1}}[V^{1-\gamma }]_{V_{3}}^{V_{2}}={\frac {K_{1}}{\gamma -1}}[{\frac {1}{V^{\gamma -1}}}]_{V_{3}}^{V_{2}}={\frac {K_{1}}{\gamma -1}}({\frac {1}{V_{3}^{\gamma -1}}}-{\frac {1}{V_{2}^{\gamma -1}}})={\frac {1}{\gamma -1}}(p_{3}V_{3}-p_{2}V_{2})={\frac {1}{\gamma -1}}(nRT_{1}-nRT_{2})$

である。

図の点3から点4の間の仕事W34は等温圧縮での負の仕事なので、低温熱源の温度をT1とすれば、公式より、

$W_{34}=nRT_{1}\log {\frac {V_{4}}{V_{3}}}=-nRT_{1}\log {\frac {V_{3}}{V_{4}}}$

であり、この負の仕事の大きさと等量の熱を放出することになる。

図の点4から点1の間の仕事W41は断熱圧縮での仕事であり、ポアソンの公式 $pV^{\gamma }=K_{2}$ より（K2は定数とする）、

$W_{41}=\int _{V_{4}}^{V_{1}}pdV=K_{2}\int _{V_{4}}^{V_{1}}V^{-\gamma }dV={\frac {K_{2}}{1-\gamma }}[V^{1-\gamma }]_{V_{4}}^{V_{1}}$

$={\frac {K_{2}}{\gamma -1}}[V^{1-\gamma }]_{V_{1}}^{V_{4}}={\frac {K_{2}}{\gamma -1}}[{\frac {1}{V^{\gamma -1}}}]_{V_{1}}^{V_{4}}={\frac {K_{2}}{\gamma -1}}({\frac {1}{V_{1}^{\gamma -1}}}-{\frac {1}{V_{4}^{\gamma -1}}})={\frac {1}{\gamma -1}}(p_{1}V_{1}-p_{4}V_{4})={\frac {1}{\gamma -1}}(nRT_{2}-nRT_{1})=-W_{23}$

である。

機関が1サイクルの間にした仕事は、これ等を足し合わせれば良いから、

$W_{12}+W_{23}+W_{34}+W_{41}$

である。

このうち、

$W{23}=-W{41}$

なので、仕事として残る変数は、

$W_{12}+W_{34}$

であり、

$W_{12}=nRT_{2}\log {\frac {V_{2}}{V_{1}}}$

$W_{34}=nRT_{1}\log {\frac {V_{4}}{V_{3}}}=-nRT_{1}\log {\frac {V_{3}}{V_{4}}}$

だから、

$W_{12}+W_{34}=nRT_{2}\log {\frac {V_{2}}{V_{1}}}-nRT_{1}\log {\frac {V_{3}}{V_{4}}}$

である。これが、この機関が1サイクルで行う正味の仕事である。

ところで、${\frac {V_{2}}{V_{1}}}$と、${\frac {V_{3}}{V_{4}}}$の関係を求めよう。 状態方程式pV=nRTより、

$p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}$　　（1）

$p_{3}V_{3}=p_{4}V_{4}$　　（2）

である。さらにポアソンの公式より、

$p_{4}V_{4}{}^{\gamma }=p_{1}V_{1}{}^{\gamma }$　　（3）

$p_{2}V_{2}{}^{\gamma }=p_{3}V_{3}{}^{\gamma }$　　（4）

である。 これらを連立して解けば良い。計算の一例を示す。 まず、式(1)と式(2)の左辺どうしと右辺どうしを掛ける。すると、

$p_{1}p_{3}V_{1}v_{3}=p_{2}p_{4}V_{2}V_{4}$　　（5）

である。

今度は式(3)と式(4)の左辺どうしと右辺どうしを掛ける。すると、

$p_{2}p_{4}V_{2}{}^{\gamma }v_{4}{}^{\gamma }=p_{1}p_{3}V_{1}{}^{\gamma }V_{3}{}^{\gamma }$　　（6）

である。

式(6)に式(5)を代入すると、式(6)の左辺は、

$p_{2}p_{4}V_{2}{}^{\gamma }v_{4}{}^{\gamma }=(p_{2}p_{4}V_{2}V_{4})(V_{2}v_{4})^{\gamma -1}=(p_{1}p_{3}V_{1}v_{3})(V_{2}v_{4})^{\gamma -1}$　　（7）

式(6)の右辺は、

$p_{1}p_{3}V_{1}{}^{\gamma }V_{3}{}^{\gamma }=(p_{1}p_{3}V_{1}v_{3})(V_{1}V_{3})^{\gamma -1}$　　（8）

となる。

式(7)=式(8)なので、

$(p_{1}p_{3}V_{1}v_{3})(V_{2}v_{4})^{\gamma -1}=(p_{1}p_{3}V_{1}v_{3})(V_{1}V_{3})^{\gamma -1}$　　　（9）

である。これを整理して、

$(V_{2}v_{4})^{\gamma -1}=(V_{1}V_{3})^{\gamma -1}$　　　　　　（10）

となる。これより、

$(V_{2}v_{4})=(V_{1}V_{3})$　　　　（11）

である。さらに、求めたいのは、${\frac {V_{2}}{V_{1}}}$と、${\frac {V_{3}}{V_{4}}}$の関係であったから、式(10)を移行すれば、

${\frac {V_{2}}{V_{1}}}={\frac {V_{3}}{V_{4}}}$　　　　　（12）

が求まる。 なぜ、式(12)を求めたかというと、そもそもの目的は、正味の仕事

$W_{12}+W_{34}=nRT_{2}\log {\frac {V_{2}}{V_{1}}}-nRT_{1}\log {\frac {V_{3}}{V_{4}}}$　　　　（13）

を求めるためであったので、では、正味の仕事を求めよう。

式(12)より、式(13)を変形できて、

$W_{12}+W_{34}=nR(T_{2}-T_{1})\log {\frac {V_{2}}{V_{1}}}$　　　　（14）

と掛ける。これが、カルノーサイクルの、1サイクルでの正味の仕事である。

カルノーサイクルの効率

カルノーサイクルが高温熱源から受け取る熱量Q1は、行程1→2であり、この行程は等温変化なので、受け取った熱量はすべて仕事になっている。行程1→2での等温変化の仕事は、

$W_{12}=nRT_{2}\log {\frac {V_{2}}{V_{1}}}$

であったので。これが高温熱源から受け取った熱量Q1に等しい。つまり

$Q_{1}=nRT_{2}\log {\frac {V_{2}}{V_{1}}}$

である。

熱効率eの式は、高温熱源から受け取った熱量をQとして、正味の仕事をWとすれば、

$e={\frac {W}{Q}}$

であった。 これに、既に求めた、熱量Q₁とW₁₂を代入すれば、

$e={\frac {W}{Q}}={\frac {nR(T_{2}-T_{1})\log(V_{2}/V_{1})}{nRT_{2}\log(V_{2}/V_{1})}}$

である。これを約分して整理すれば、

$e={\frac {T_{2}-T_{1}}{T_{2}}}$

である。これがカルノーサイクルの理論上の最高効率である。このカルノーサイクルの最高効率は、絶対温度だけで決まる。 実際の熱機関の効率は、不可逆課程を含み、これよりも低くなるので、現実の熱効率まで式に含めたければ、不等号を用いて表せば良い。 式を書くと

$e$≦${\frac {T_{2}-T_{1}}{T_{2}}}$

となる。