物理数学II/特殊関数

球函数

Legendre 函数

Legendre の微分方程式

$(1-x^{2}){\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}-2x{\frac {dw}{dx}}+\nu (\nu +1)w=0$

は、$z={\frac {1-x}{2}}$ と変換すると、

$z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(1-2z){\frac {dw}{dz}}+\nu (\nu +1)w=0$

となる。これは、Gauss の超幾何微分方程式で、$\alpha =\nu +1,\beta =-\nu ,\gamma =1$ とした場合だから、微分方程式の解は超幾何函数を使って、

$w=F(\nu +1,-\nu ,1,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\nu +1)_{k}(-\nu )_{k}}{(k!)^{2}}}\left({\frac {1-x}{2}}\right)^{k}$

とかける。これを $\nu$ 次 Legendre 函数 $P_{\nu }(x)$ という。

次に、$P_{\nu }(x)$ に線型独立なもう一つの解を定数変化法で求める。

$w=P_{\nu }(x)v(x)$

とおいて、Legendre の微分方程式に代入すると、

$(1-x^{2})P_{\nu }v''+\{2(1-x^{2})P_{\nu }'-2xP_{\nu }\}v'=0$

これは、$v'$ に対する微分方程式として

${\frac {dv'}{v'}}+{\frac {dx\{2(1-x^{2})P_{\nu }'P_{\nu }-2x{P_{\nu }}^{2}\}}{(1-x^{2}){P_{\nu }}^{2}}}=0$

即ち、

${\frac {dv'}{v'}}+{\frac {d[(1-x^{2})P_{\nu }^{2}]}{(1-x^{2}){P_{\nu }}^{2}}}=0$

と変形できる。

これを積分して、

$v'={\frac {C}{(1-x^{2}){P_{\nu }}^{2}}}$

を得る。もう一度積分すると、

$v(x)=C\int {\frac {dx}{(1-x^{2}){P_{\nu }}^{2}}}+C'$

となるから、

$w(x)=P_{\nu }(x)v(x)=CP_{\nu }(x)\int {\frac {dx}{(1-x^{2}){P_{\nu }}^{2}}}+C'P_{\nu }(x)$

である。今求めているのは、$P_{\nu }(x)$ に独立な解であるから $C'=0$ としていい。$C=1$ とし、積分範囲を $\int _{\infty }^{x}$ と取るときの $w(x)$ を第二種 Legendre 函数 $Q_{\nu }(x)$ と定義する。

すなわち、

$Q_{\nu }(x)=P_{\nu }(x)\int _{\infty }^{x}{\frac {dx}{(1-x^{2}){P_{\nu }(x)}^{2}}}$

である。

Legendre 多項式

$k>n$ ならば、$(-n)_{k}=0$となるから、Legendre 函数 $P_{\nu }(x)$ は $\nu$ が非負整数 $n$ のとき多項式になる。

$P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(n+1)_{k}(-n)_{k}}{(k!)^{2}}}\left({\frac {1-x}{2}}\right)^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+1)_{k}(-n)_{k}}{(k!)^{2}}}\left({\frac {1-x}{2}}\right)^{k}$

Pochhammer 記号について、

$(n)_{k}=n(n+1)\cdots (n+k-1)={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!}}$

$(-n)_{k}=(-n)(-n+1)\cdots (-n+k-1)=(-1)^{k}n(n-1)\cdots (n-k+1)=(-1)^{k}{\frac {n!}{(n-k)!}}$ (ただし、$k\leq n$ のとき)

となる性質を用いると、

$P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(k!)^{2}(n-k)!}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{k}$

を得る。Legendre 多項式は Rodrigues の公式

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}$

によっても定義される。

実際、

${\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\{(x-1)^{n}(2+x-1)^{n}\}\\&={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}2^{n-k}(x-1)^{n+k}\\&={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}{\frac {(n+k)!}{k!}}2^{n-k}(x-1)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(k!)^{2}(n-k)!}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{k}\\\end{aligned}}$

となる。

次に、Legendre 多項式の $x$ の冪での表示を求める。Rodrigues の公式を展開して、

${\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\\&={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}(-1)^{k}x^{2n-2k}\\&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{k}}{k!(n-k)!}}{\frac {(2n-2k)!}{(n-2k)!}}x^{n-2k}\end{aligned}}$

ここで、いくつかの項は微分で落ちる。項が残る条件は $n-2k\geq 0$ で、 $k$ が整数だから、 $\left[{\frac {n}{2}}\right]\geq k$ である。

さらに、

${\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{k}(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!}}x^{n-2k}\\&=\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(2n-2k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!(n-2k)!}}x^{n-2k}\\&=\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(2n-2k-1)!!}{k!(n-2k)!}}x^{n-2k}\end{aligned}}$

として Legendre 多項式の表示が得られる。ここで、$(2k)!!=2^{k}k!,(2k-1)!!={\frac {(2k)!}{(2k)!!}}={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}$ となることを使った。

Rodrigues の公式に Goursat の公式を使うと、

$P_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{x}\left\{{\frac {t^{2}-1}{2(t-x)}}\right\}^{n}{\frac {dt}{t-x}}$

となる。ここで、${\frac {t^{2}-1}{2(t-x)}}={\frac {1}{\zeta }}$ と変換をすると、$\zeta t^{2}-2t+2x-\zeta =0$ となるから、$t$ について解いて、 $t={\frac {1-{\sqrt {1-2x\zeta +\zeta ^{2}}}}{\zeta }}={\frac {1-R}{\zeta }}$ となる。ここで、$R={\sqrt {1-2x\zeta +\zeta ^{2}}}$ と置いた。$dR={\frac {\zeta -x}{R}}d\zeta$ となるから、$t$ の微分は$dt=-{\frac {d\zeta }{\zeta ^{2}}}(1-R)-{\frac {dR}{\zeta }}={\frac {1-R-x\zeta }{\zeta ^{2}R}}d\zeta$ となる。$t-x={\frac {1-R-x\zeta }{\zeta }}$ であったから、${\frac {dt}{t-x}}={\frac {d\zeta }{R\zeta }}.$

$P_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{0}{\frac {1}{\sqrt {1-2x\zeta +\zeta ^{2}}}}{\frac {d\zeta }{\zeta ^{n+1}}}$

これは、

${\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}$

ということを意味する。すなわち、これが Legendre 多項式の母函数である。

Legendre の陪函数

Legendre の陪微分方程式

$(1-x^{2}){\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}-2x{\frac {dw}{dx}}+\left\{n(n+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right\}w=0$

の解を求めたい。

Legendre の微分方程式

$(1-x^{2}){\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}-2x{\frac {dw}{dx}}+n(n+1)w=0$

で

$w=(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}v$

とおいて、Legendre の陪微分方程式に代入すると、

${\frac {dw}{dx}}=(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}v'-mx(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}v$

${\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}=(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}v''-2mx(1-x^{2})^{{\frac {m}{2}}-1}v'+m(1-x^{2})^{{\frac {m}{2}}-1}v+m(m-2)x^{2}(1-x^{2})^{{\frac {m}{2}}-2}v$

となるから、$(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}$ で割って、${\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}=-1+{\frac {1}{1-x^{2}}}$ に注意して計算すると、

$(1-x^{2})v''-2(m+1)v'+(n-m)(n+m+1)v=0$

を得る。

次に、Legendre の微分方程式を $w$ の代わりに $u$ とおいて、一回微分すると、

$(1-x^{2}){\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}-2(1+1)x{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\{n(n+1)-2\}{\frac {du}{dx}}=0$

もう一回微分すると、

$(1-x^{2}){\frac {d^{4}u}{dx^{3}}}-2(1+1+1)x{\frac {d^{3}u}{dx^{2}}}+\{n(n+1)-2-4\}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=0$

すなわち、Legendre の微分方程式を $m$ 階微分すると、$2(1+2+\cdots +m)=m(m+1)$ となるから、

$(1-x^{2}){\frac {d^{m+2}u}{dx^{m+2}}}-2(m+1)x{\frac {d^{m+1}u}{dx^{m+1}}}+(n-m)(n+m+1){\frac {d^{m}u}{dx^{m}}}=0$

である。

よって、

$v={\frac {d^{m}u}{dx^{m}}}$

の関係があることがわかる。ここで、$u$ は Legendre の微分方程式の解だから、

$u=P_{n}(x),Q_{n}(x)$

を代入して、

Legendre の陪微分方程式の解として、

$w=(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}P_{n}}{dx^{m}}},(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}Q_{n}}{dx^{m}}}$

を得る。この解をLengendre 陪函数として、

$P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}P_{n}}{dx^{m}}},\,Q_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}Q_{n}}{dx^{m}}}$

と定義する。

球面調和函数

Laplace 方程式

$\triangle \Psi =0$

を球座標で表すと、

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}\Lambda \Psi =0$

となる。だたし、

$\Lambda ={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}$

である。$\Psi$ が $C^{2}$ 級函数で、

$\Psi (r,\theta ,\varphi )=r^{n}Y_{n}(\theta ,\varphi )$

の形であるとき、$Y_{n}(\theta ,\varphi )$ を $n$ 次の球面調和函数という。これを Laplace 方程式に代入すると、$Y_{n}(\theta ,\varphi )$ の方程式として

$-\Lambda Y_{n}=n(n+1)Y_{n}$

すなわち、

${\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y_{n}}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y_{n}}{\partial \varphi ^{2}}}+n(n+1)Y_{n}=0$

を得る。

$Y_{n}(\theta ,\varphi )=\Theta (\theta )\Phi (\varphi )$

と変数分離を仮定して、

${\frac {1}{\Theta \sin \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+n(n+1)=-{\frac {1}{\Phi \sin ^{2}\theta }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}$

あるいは、

${\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+n(n+1)\sin ^{2}\theta =-{\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=m^{2}$

となる。両辺は $\theta ,\varphi$ のいずれにも依存しないから、定数であるからこれを $m^{2}$ と置くと、

${\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}\Phi$

この解は、

$\Phi =C_{1}\sin m\varphi +C_{2}\cos m\varphi$

となる。$\Phi (\varphi )$ は一価函数であるから、$\Phi (\varphi +2\pi )=\Phi (\varphi )$ より、 $m$ は整数である。また、 $m,-m$ は同じ函数を与えるから、$m\geq 0$ とする。

次に、 $\Theta$ に関する微分方程式

${\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+n(n+1)\Theta -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\Theta =0$

は、 $x=\cos \theta$ と変換すると、

${\frac {d}{dx}}\left\{(1-x^{2}){\frac {d\Theta }{dx}}\right\}+\left\{n(n+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right\}\Theta =0$

となる。これは、Legendre の陪微分方程式だから、

$\Theta =P_{n}^{m}(x)$

あるいは、

$\Theta (\theta )=P_{n}^{m}(\cos \theta )$

を得る。ここで、$\Theta (\theta )=Q_{n}^{m}(\cos \theta )$ も陪微分方程式の解であるが、$\theta =0$ で連続ではない。

結局、$n$ 次球面調和函数として、

$Y_{n}(\theta ,\varphi )=P_{n}(\cos \theta ),P_{n}^{m}(\cos \theta ){\begin{aligned}\cos m\varphi \\\sin m\varphi \end{aligned}}$ ($m=1,2,\cdots ,n$)

の $2n+1$ 個の解を得る。

円柱函数

Bessel 函数

電磁気学や量子力学などで、微分方程式

${\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+{\frac {1}{z}}{\frac {dw}{dz}}+\left(1-{\frac {\nu ^{2}}{z^{2}}}\right)w=0$

を解く必要が発生する。この微分方程式の解を Bessel 函数という。

$w=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{\rho +k}$

の形の級数展開を仮定する。

このとき、

${\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }(\rho +k)(\rho +k-1)c_{k}z^{\rho +k-2}$

${\frac {1}{z}}{\frac {dw}{dz}}=\sum _{k=0}^{\infty }(\rho +k)c_{k}z^{\rho +k-2}$

であるから、微分方程式は、

$\sum _{k=0}^{\infty }\left[\{(\rho +k)^{2}-\nu ^{2}\}c_{k}z^{\rho +k-2}+c_{k}z^{\rho +k}\right]=0$

となる。

${\frac {1}{z^{2}}}$ の項は、$(\rho ^{2}-\nu ^{2})c_{0}=0$ であるから、$\rho =\pm \nu$.

${\frac {1}{z}}$ の項は、$\{(\rho +1)-\nu ^{2}\}c_{1}=0$ であるから、$c_{1}=0$.

$k\geq 0$ について、$-c_{k-2}=\{(\rho +k)^{2}-\nu ^{2}\}c_{k}$ を得る。これより、$c_{2k+1}=0$ がわかる。

$\rho =\nu$ のときは、

$c_{2k}={\frac {-c_{2(k-1)}}{2(\nu +k)\cdot 2k}}$

であるから、

$c_{2k}={\frac {(-1)^{k}}{2^{2k}k!(\nu +k)(\nu +k-1)\cdots (\nu +1)}}={\frac {(-1)^{k}\Gamma (\nu +1)}{2^{2k}k!\Gamma (\nu +k+1)}}$

である。すなわち、

$w=c_{0}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\Gamma (\nu +1)}{2^{2k}k!\Gamma (\nu +k+1)}}z^{2k}$

ここで、$c_{0}={\frac {1}{2^{\nu }\Gamma (\nu +1)}}$ に選んだものを $\nu$ 次 Bessel 函数 $J_{\nu }(z)$ とする。

すなわち、

$J_{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!\Gamma (\nu +k+1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }$

である。$\rho =-\nu$ のときも同様に計算することで、同じ式になる。

性質

負の整数 $-n$ 次の Bessel 函数について、

$J_{-n}(z)=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!\Gamma (-n+k+1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2k-n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+n}}{(k+n)!\Gamma (k+1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2k+n}=(-1)^{n}J_{n}(z)$

Bessel 函数の母函数は、

${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)t^{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }J_{n}(z)t^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{n}(z)t^{-n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n+m)!}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2m+n}t^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{l+n}}{l!(n+l)!}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2l+n}t^{-n}\end{aligned}}$

ここで、第一の総和で、$l=m+n$ 、第二の総和で、$m=l+n$ と置くと、

${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)t^{n}&=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{l=m}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!l!}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{m+l}t^{l-m}+\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=l+1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{l!m!}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{l+m}t^{l-m}\\&=\sum _{m,l=0}^{\infty }{\frac {1}{m!l!}}\left({\frac {zt}{2}}\right)^{l}\left(-{\frac {z}{2t}}\right)^{m}\\&=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {1}{l!}}\left({\frac {zt}{2}}\right)^{l}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}\left(-{\frac {z}{2t}}\right)^{m}\\&=e^{{\frac {z}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}\end{aligned}}$

となる。

また、母函数を $t^{n+1}$ で割ると、

${\frac {e^{{\frac {z}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}}{t^{n+1}}}={\frac {J_{n}(z)}{t}}+\sum _{k=-\infty ,k\neq n}^{\infty }J_{k}(z)t^{k-n-1}$

となるから、$t$ について原点反時計回りに積分すると、

$J_{n}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{0}{\frac {e^{{\frac {z}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}}{t^{n+1}}}dt$

が得られる。$t=e^{i\theta }$ とすると、

$J_{n}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{z{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2}}}e^{-in\theta }d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{iz\sin \theta -in\theta }d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }[\cos(z\sin \theta -n\theta )+i\sin(z\sin \theta -n\theta )]d\theta$

ここで、$\sin(z\sin \theta -n\theta )$ は奇函数だから積分は0。$\cos(z\sin \theta -n\theta )$ は偶函数だから、

$J_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\theta -z\sin \theta )d\theta$

を得る。Bessel はこの積分により Bessel 函数を定義した。

また、

$J_{n}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{iz\sin \theta -in\theta }d\theta$

で、$\theta =\varphi +{\frac {\pi }{2}}$ と変換すると、積分範囲は被積分函数の周期性より変更する必要はないから、

$J_{n}(z)={\frac {1}{2\pi i^{n}}}\int _{-\pi }^{\pi }e^{iz\cos \varphi }(\cos n\varphi -i\sin n\varphi )d\varphi$

となる。前のように奇函数と偶函数の性質を利用すると、

Hansen の積分表示

$J_{n}(z)={\frac {1}{\pi i^{n}}}\int _{0}^{\pi }e^{iz\cos \varphi }\cos n\varphi \,d\varphi$

を得る。

母函数に$t=1$ を代入すると、

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{k}(z)=1$

あるいは、

$J_{0}(z)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(z)=1$

を得る。

$e^{{\frac {x+y}{2}}(t-1/t)}=e^{{\frac {x}{2}}(t-1/t)}e^{{\frac {y}{2}}(t-1/t)}$

であるから、Bessel 函数の加法定理

$J_{n}(x+y)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }J_{n-m}(x)J_{m}(y)$

を得る。

上昇演算子と ${\overset {(\nu )}{T}}$ 下降演算子 ${\underset {(\nu )}{T}}$ を次のように定義する。

${\overset {(\nu )}{T}}=z^{\nu }{\frac {d}{dz}}z^{-\nu }={\frac {d}{dz}}-{\frac {\nu }{z}}$

${\underset {(\nu )}{T}}=z^{-\nu }{\frac {d}{dz}}z^{\nu }={\frac {d}{dz}}+{\frac {\nu }{z}}$

ここで、右辺は、${\overset {(\nu )}{T}}f=z^{\nu }{\frac {d}{dz}}(z^{-\nu }f)=z^{\nu }\left(-\nu z^{-\nu -1}f+z^{-\nu }{\frac {df}{dz}}\right)=\left({\frac {d}{dz}}-{\frac {\nu }{z}}\right)f$ から成り立つ。下降演算子についても同様である。

これを Bessel 函数に作用させると、

${\begin{aligned}{\overset {(\nu )}{T}}J_{\nu }(z)&=z^{\nu }{\frac {d}{dz}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{2^{2k+\nu }k!\Gamma (\nu +k+1)}}\\&=z^{\nu }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k-1}}{2^{2k+\nu -1}(k-1)!\Gamma (\nu +k+1)}}\\&=-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1+\nu }}{2^{2k+\nu +1}k!\Gamma (\nu +1+k+1)}}\\&=-J_{\nu +1}(z)\end{aligned}}$

となる。また、

${\begin{aligned}{\underset {(\nu )}{T}}J_{\nu }(z)&=z^{-\nu }{\frac {d}{dz}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+2\nu }}{2^{2k+\nu }k!\Gamma (\nu +k+1)}}\\&=z^{-\nu }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+\nu )z^{2k+2\nu -1}}{2^{2k+\nu -1}k!\Gamma (\nu +k+1)}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+\nu -1}}{2^{2k+\nu -1}k!\Gamma (\nu +k)}}\\&=J_{\nu -1}(z)\end{aligned}}$

である。すなわち、

$J_{\nu }^{'}(z)-{\frac {\nu }{z}}J_{\nu }(z)=-J_{\nu +1}(z)$

$J_{\nu }^{'}(z)+{\frac {\nu }{z}}J_{\nu }(z)=J_{\nu -1}(z)$

二式を辺々加えて、

$2J_{\nu }^{'}(z)=J_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z)$

または、辺々引いて、

${\frac {2\nu }{z}}J_{\nu }(z)=J_{\nu -1}(z)+J_{\nu +1}(z)$

を得る。

ところで、明らかに

${\underset {(\nu +1)}{T}}{\overset {(\nu )}{T}}J_{\nu }(z)=-J_{\nu }(z)$

となる。この式は二階の微分方程式であるから、Bessel の微分方程式に帰着するはずである。実際、左辺を展開すると、

${\underset {(\nu +1)}{T}}{\overset {(\nu )}{T}}=\left({\frac {d}{dz}}+{\frac {\nu +1}{z}}\right)\left({\frac {d}{dz}}-{\frac {\nu }{z}}\right)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+{\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}-{\frac {\nu ^{2}}{z^{2}}}$

となる。逆に考えると、昇降演算子とは微分方程式を因数分解したものだとも考えられる。

第二種 Bessel 函数

$\nu$ が非整数のときは、$J_{\nu }(z),J_{-\nu }(z)$ が独立な2解を与えるが、整数のときは、$J_{-n}(z)=(-1)^{n}J_{n}(z)$ という関係があるから、独立ではない。そこで、位数 $n$ のときの Bessel の微分方程式の独立なもうひとつの解が存在する。Bessel の微分方程式を $\nu$ で偏微分すれば、

${\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\left.\left({\frac {\partial J_{\nu }(z)}{\partial \nu }}\right)\right|_{\nu =n}+{\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\left.\left({\frac {\partial J_{\nu }(z)}{\partial \nu }}\right)\right|_{\nu =n}+\left(1-{\frac {n^{2}}{z^{2}}}\right)\left.\left({\frac {\partial J_{\nu }(z)}{\partial \nu }}\right)\right|_{\nu =n}=0$

となるから、$\left.\left({\frac {\partial J_{\nu }(z)}{\partial \nu }}\right)\right|_{\nu =n}$ は微分方程式の解である。$\left.\left({\frac {\partial J_{-\nu }(z)}{\partial \nu }}\right)\right|_{\nu =n}$ も同じ微分方程式を満たすから、その線形結合として、

$Y_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\left(\left.\left({\frac {\partial J_{\nu }(z)}{\partial \nu }}\right)\right|_{\nu =n}-(-1)^{n}\left.\left({\frac {\partial J_{-\nu (z)}}{\partial \nu }}\right)\right|_{\nu =n}\right)$

を定義すると、$J_{n}(z)$ に独立な解を与える。非整数の $\nu$ に対しては、

$Y_{\nu }(z)={\frac {\cos \nu \pi J_{\nu }(z)-J_{-\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}$

と定義すると、 $\nu \rightarrow n$ の極限として、 $Y_{n}(z)$ を得ることができる。

第一種、第二種 Hankel 函数をそれぞれ

$H_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+iY_{\nu }(z)$

$H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-iY_{\nu }(z)$

で定義する。

楕円積分と楕円函数

第一種完全楕円積分 $K(k)$ と第二種完全楕円積分 $E(k)$ は

$K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

$E(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta$

で定義される。

Taylor 展開して、

${\begin{aligned}K(k)&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {-{\frac {1}{2}}}{n}}(-1)^{n}k^{2n}\sin ^{2n}\theta d\theta \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{2n}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2n}\theta d\theta \\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}E(k)&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta \\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\frac {1}{2}}{n}}(-1)^{n}k^{2n}\sin ^{2n}\theta d\theta \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {-(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}}k^{2n}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2n}\theta d\theta \\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}\\\end{aligned}}$

となる。あるいは、超幾何函数を使うと、

$K(k)={\frac {\pi }{2}}F\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;k^{2}\right)$

$E(k)={\frac {\pi }{2}}F\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}};1;k^{2}\right)$

となる。この変形に、

$\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}=\left({\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {1+2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {1+2n-2}{2}}\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}$

$\left(-{\frac {1}{2}}\right)_{n}=\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {1+2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {1+2n-4}{2}}\right)=-{\frac {(2n-3)!!}{2^{n}}}$

を使う。

Theta函数

$\vartheta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau +2\pi inz}$

$\vartheta _{01}(z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau +2\pi in\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}=\vartheta \left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)$

$\vartheta _{10}(z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\tau +2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)z}=e^{{\frac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz}\vartheta \left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)$

$\vartheta _{11}(z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\tau +2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}=e^{{\frac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}\vartheta \left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)$

と定義する。$\vartheta _{00}(z,\tau )=\vartheta (z,\tau )$ とする。

$\vartheta (z+1,\tau )=\vartheta (z,\tau )$

$\vartheta (z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i(\tau +2z)}\vartheta (z,\tau )$

さらに、

$\vartheta _{00}(z+1,\tau )=\vartheta _{00}(z,\tau )$

$\vartheta _{01}(z+1,\tau )=\vartheta _{01}(z,\tau )$

$\vartheta _{10}(z+1,\tau )=-\vartheta _{10}(z,\tau )$

$\vartheta _{11}(z+1,\tau )=-\vartheta _{11}(z,\tau )$

また、

$\vartheta _{00}(z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i(\tau +2z)}\vartheta _{00}(z,\tau )$

$\vartheta _{01}(z+\tau ,\tau )=-e^{-\pi i(\tau +2z)}\vartheta _{01}(z,\tau )$

$\vartheta _{10}(z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i(\tau +2z)}\vartheta _{10}(z,\tau )$

$\vartheta _{11}(z+\tau ,\tau )=-e^{-\pi i(\tau +2z)}\vartheta _{11}(z,\tau )$

$\vartheta _{00}\left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)=\vartheta _{01}(z,\tau )$

$\vartheta _{01}\left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)=\vartheta _{00}(z,\tau )$

$\vartheta _{10}\left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)=-\vartheta _{11}(z,\tau )$

$\vartheta _{11}\left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)=-\vartheta _{10}(z,\tau )$

楕円函数

Jacobi の楕円函数を

$\operatorname {sn} u=-{\frac {\vartheta _{00}\vartheta _{11}(\zeta )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(\zeta )}}$

$\operatorname {cn} u={\frac {\vartheta _{01}\vartheta _{10}(\zeta )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(\zeta )}}$

$\operatorname {dn} u={\frac {\vartheta _{01}\vartheta _{00}(\zeta )}{\vartheta _{00}\vartheta _{01}(\zeta )}}$

で定義する。ただし、$k=\left({\frac {\vartheta _{10}}{\vartheta _{00}}}\right)^{2}$ ,$u=\pi \vartheta _{00}^{2}\zeta$ である。

第一種不完全楕円積分$u(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dz}{{\sqrt {1-z^{2}}}{\sqrt {1-l^{2}z^{2}}}}}(l\in [0,1])$を用いると、

$\operatorname {sn} x=u^{-1}(x)$

$\operatorname {cn} x={\sqrt {1-(\operatorname {sn} x)^{2}}}$

$\operatorname {dn} x={\sqrt {1-(l\operatorname {sn} x)^{2}}}$

と定義することもできる。

定義より

$(\operatorname {sn} x)^{2}+(\operatorname {cn} x)^{2}=1$

$(\operatorname {sn} x)^{2}+(l\operatorname {dn} x)^{2}=1$

は直ちに成り立つ。

また、以下の加法定理が成り立つ。

$\operatorname {sn} (x+y)={\frac {\operatorname {sn} x\operatorname {cn} y\operatorname {dn} y-\operatorname {sn} y\operatorname {cn} x\operatorname {dn} x}{1-(l\operatorname {sn} x\operatorname {sn} y)^{2}}}$

$\operatorname {cn} (x+y)={\frac {\operatorname {cn} x\operatorname {cn} y-\operatorname {sn} x\operatorname {sn} y\operatorname {dn} x\operatorname {dn} y}{1-(l\operatorname {sn} x\operatorname {sn} y)^{2}}}$

$\operatorname {dn} (x+y)={\frac {\operatorname {dn} x\operatorname {dn} y-l^{2}\operatorname {sn} x\operatorname {sn} y\operatorname {cn} x\operatorname {cn} y}{1-(l\operatorname {sn} x\operatorname {sn} y)^{2}}}$

それぞれの函数の微分は以下のようになる。

${\frac {d}{dx}}\operatorname {sn} x=\operatorname {cn} x\operatorname {dn} x$

${\frac {d}{dx}}\operatorname {cn} x=-\operatorname {sn} x\operatorname {dn} x$

${\frac {d}{dx}}\operatorname {dn} x=-l^{2}\operatorname {sn} x\operatorname {cn} x$

先ほどの第一種不完全楕円積分の式において、$l=0$を代入すると$u(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}=\arcsin x$となる。このとき、$\operatorname {sn} x=\sin x,\operatorname {cn} x=\cos x$が恒等的に成り立つ。

今度は$l=1$を代入すると、$u(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dz}{1-z^{2}}}=\mathrm {artanh} x$となる。このとき、$\operatorname {sn} x=\tanh x,\operatorname {cn} x=\operatorname {dn} x={\frac {1}{\cosh x}}$が恒等的に成り立つ。

すなわち、三角関数と双曲線関数は楕円函数の一種である。

参考文献

• 寺沢寛一『自然科学者のための数学概論(増訂版)』岩波書店、1983年。
• 高木貞治『定本 解析概論』岩波書店、2010年。
• 犬井鉄郎『特殊函数』岩波書店、1962年。

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