物理数学II/特殊関数

Legendre 多項式

Legendre 多項式 $P_{n}(x)$は

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}$

で定義される。

この式を展開して、

${\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\\&={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}(-1)^{k}x^{2n-2k}\\&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}{\frac {1}{k!(n-k)!}}(-1)^{k}{\frac {(2n-2k)!}{(n-2k)!}}x^{n-2k}\end{aligned}}$

ここで、いくつかの項は微分で落ちる。項が残る条件は $n-2k\geq 0$ で、 $k$ が整数だから、 $[{\frac {n}{2}}]\geq k$ である。

さらに、

${\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}{\frac {(-1)^{k}(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!}}x^{n-2k}\\&=\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(2n-2k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!(n-2k)!}}x^{n-2k}\\&=\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(2n-2k-1)!!}{k!(n-2k)!}}x^{n-2k}\end{aligned}}$

として Legendre 多項式の表示が得られる。ここで、$(2k)!!=2^{k}k!,(2k-1)!!={\frac {(2k)!}{(2k)!!}}={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}$ となることを使った。

Legendre 多項式の定義に Goursat の公式を使うと、

$P_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{x}\left\{{\frac {t^{2}-1}{2(t-x)}}\right\}^{n}{\frac {dt}{t-x}}$

となる。ここで、${\frac {t^{2}-1}{2(t-x)}}={\frac {1}{\zeta }}$ と変換をすると、$\zeta t^{2}-2t+2x-\zeta =0$ となるから、$t$ について解いて、 $t={\frac {1-{\sqrt {1-2x\zeta +\zeta ^{2}}}}{\zeta }}={\frac {1-R}{\zeta }}$ となる。ここで、$R={\sqrt {1-2x\zeta +\zeta ^{2}}}$ と置いた。$dR={\frac {\zeta -x}{R}}d\zeta$ となるから、$t$ の微分は$dt=-{\frac {d\zeta }{\zeta ^{2}}}(1-R)-{\frac {dR}{\zeta }}={\frac {1-R-x\zeta }{\zeta ^{2}R}}d\zeta$ となる。$t-x={\frac {1-R-x\zeta }{\zeta }}$ であったから、${\frac {dt}{t-x}}={\frac {d\zeta }{R\zeta }}.$

$P_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{0}{\frac {1}{\sqrt {1-2x\zeta +\zeta ^{2}}}}{\frac {d\zeta }{\zeta ^{n+1}}}$

これは、

${\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}$

ということを意味する。すなわち、これがLegendre 多項式の母関数である。

Bessel 関数

電磁気学や量子力学などで、微分方程式

${\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+{\frac {1}{z}}{\frac {dw}{dz}}+\left(1-{\frac {\nu ^{2}}{z^{2}}}\right)w=0$

を解く必要が発生する。この微分方程式の解を Bessel 関数という。

$w=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{\rho +k}$

の形の級数展開を仮定する。

このとき、

${\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }(\rho +k)(\rho +k-1)c_{k}z^{\rho +k-2}$

${\frac {1}{z}}{\frac {dw}{dz}}=\sum _{k=0}^{\infty }(\rho +k)c_{k}z^{\rho +k-2}$

であるから、微分方程式は、

$\sum _{k=0}^{\infty }\left[\{(\rho +k)^{2}-\nu ^{2}\}c_{k}z^{\rho +k-2}+c_{k}z^{\rho +k}\right]=0$

となる。

${\frac {1}{z^{2}}}$ の項は、$(\rho ^{2}-\nu ^{2})c_{0}=0$ であるから、$\rho =\pm \nu$.

${\frac {1}{z}}$ の項は、$\{(\rho +1)-\nu ^{2}\}c_{1}=0$ であるから、$c_{1}=0$.

$k\geq 0$ について、$-c_{k-2}=\{(\rho +k)^{2}-\nu ^{2}\}c_{k}$ を得る。これより、$c_{2k+1}=0$ がわかる。

$\rho =\nu$ のときは、

$c_{2k}={\frac {-c_{2(k-1)}}{2(\nu +k)\cdot 2k}}$

であるから、

$c_{2k}={\frac {(-1)^{k}}{2^{2k}k!(\nu +k)(\nu +k-1)\cdots (\nu +1)}}={\frac {(-1)^{k}\Gamma (\nu +1)}{2^{2k}k!\Gamma (\nu +k+1)}}$

である。すなわち、

$w=c_{0}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\Gamma (\nu +1)}{2^{2k}k!\Gamma (\nu +k+1)}}z^{2k}$

ここで、$c_{0}={\frac {1}{2^{\nu }\Gamma (\nu +1)}}$ に選んだものを $\nu$ 次 Bessel 関数 $J_{\nu }(z)$ とする。

すなわち、

$J_{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!\Gamma (\nu +k+1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }$

である。$\rho =-\nu$ のときも同様に計算することで、同じ式になる。

性質

負の整数 $-n$ 次の Bessel 関数について、

$J_{-n}(z)=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!\Gamma (-n+k+1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2k-n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+n}}{(k+n)!\Gamma (k+1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2k+n}=(-1)^{n}J_{n}(z)$

Bessel 関数の母関数は、

${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)t^{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }J_{n}(z)t^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{n}(z)t^{-n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n+m)!}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2m+n}t^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{l+n}}{l!(n+l)!}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2l+n}t^{-n}\end{aligned}}$

ここで、第一の総和で、$l=m+n$ 、第二の総和で、$m=l+n$ と置くと、

${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)t^{n}&=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{l=m}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!l!}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{m+l}t^{l-m}+\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=l+1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{l!m!}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{l+m}t^{l-m}\\&=\sum _{m,l=0}^{\infty }{\frac {1}{m!l!}}\left({\frac {zt}{2}}\right)^{l}\left(-{\frac {z}{2t}}\right)^{m}\\&=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {1}{l!}}\left({\frac {zt}{2}}\right)^{l}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}\left(-{\frac {z}{2t}}\right)^{m}\\&=e^{{\frac {z}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}\end{aligned}}$

となる。

また、母関数を $t^{n+1}$ で割ると、

${\frac {e^{{\frac {z}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}}{t^{n+1}}}={\frac {J_{n}(z)}{t}}+\sum _{k=-\infty ,k\neq n}^{\infty }J_{k}(z)t^{k-n-1}$

となるから、$t$ について原点反時計回りに積分すると、

$J_{n}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{0}{\frac {e^{{\frac {z}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}}{t^{n+1}}}dt$

が得られる。$t=e^{i\theta }$ とすると、

$J_{n}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{z{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2}}}e^{-in\theta }d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{iz\sin \theta -in\theta }d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }[\cos(z\sin \theta -n\theta )+i\sin(z\sin \theta -n\theta )]d\theta$

ここで、$\sin(z\sin \theta -n\theta )$ は奇関数だから積分は0。$\cos(z\sin \theta -n\theta )$ は偶関数だから、

$J_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\theta -z\sin \theta )d\theta$

を得る。

母関数に$t=1$ を代入すると、

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{k}(z)=1$

あるいは、

$J_{0}(z)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(z)=1$

を得る。

$e^{{\frac {x+y}{2}}(t-1/t)}=e^{{\frac {x}{2}}(t-1/t)}e^{{\frac {y}{2}}(t-1/t)}$

であるから、Bessel 関数の加法定理

$J_{n}(x+y)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }J_{n-m}(x)J_{m}(y)$

を得る。

上昇演算子と ${\overset {(\nu )}{T}}$ 下降演算子 ${\underset {(\nu )}{T}}$ を次のように定義する。

${\overset {(\nu )}{T}}=z^{\nu }{\frac {d}{dz}}z^{-\nu }={\frac {d}{dz}}-{\frac {\nu }{z}}$

${\underset {(\nu )}{T}}=z^{-\nu }{\frac {d}{dz}}z^{\nu }={\frac {d}{dz}}+{\frac {\nu }{z}}$

ここで、右辺は、${\overset {(\nu )}{T}}f=z^{\nu }{\frac {d}{dz}}(z^{-\nu }f)=z^{\nu }\left(-\nu z^{-\nu -1}f+z^{-\nu }{\frac {df}{dz}}\right)=\left({\frac {d}{dz}}-{\frac {\nu }{z}}\right)f$ から成り立つ。下降演算子についても同様である。

これを Bessel 関数に作用させると、

${\begin{aligned}{\overset {(\nu )}{T}}J_{\nu }(z)&=z^{\nu }{\frac {d}{dz}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{2^{2k+\nu }k!\Gamma (\nu +k+1)}}\\&=z^{\nu }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k-1}}{2^{2k+\nu -1}(k-1)!\Gamma (\nu +k+1)}}\\&=-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1+\nu }}{2^{2k+\nu +1}k!\Gamma (\nu +1+k+1)}}\\&=-J_{\nu +1}(z)\end{aligned}}$

となる。また、

${\begin{aligned}{\underset {(\nu )}{T}}J_{\nu }(z)&=z^{-\nu }{\frac {d}{dz}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+2\nu }}{2^{2k+\nu }k!\Gamma (\nu +k+1)}}\\&=z^{-\nu }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+\nu )z^{2k+2\nu -1}}{2^{2k+\nu -1}k!\Gamma (\nu +k+1)}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+\nu -1}}{2^{2k+\nu -1}k!\Gamma (\nu +k)}}\\&=J_{\nu -1}(z)\end{aligned}}$

である。すなわち、

$J_{\nu }^{'}(z)-{\frac {\nu }{z}}J_{\nu }(z)=-J_{\nu +1}(z)$

$J_{\nu }^{'}(z)+{\frac {\nu }{z}}J_{\nu }(z)=J_{\nu -1}(z)$

二式を辺々加えて、

$2J_{\nu }^{'}(z)=J_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z)$

または、辺々引いて、

${\frac {2\nu }{z}}J_{\nu }(z)=J_{\nu -1}(z)+J_{\nu +1}(z)$

を得る。

ところで、明らかに

${\underset {(\nu +1)}{T}}{\overset {(\nu )}{T}}J_{\nu }(z)=-J_{\nu }(z)$

となる。この式は二階の微分方程式であるから、Bessel の微分方程式に帰着するはずである。実際、左辺を展開すると、

${\underset {(\nu +1)}{T}}{\overset {(\nu )}{T}}=\left({\frac {d}{dz}}+{\frac {\nu +1}{z}}\right)\left({\frac {d}{dz}}-{\frac {\nu }{z}}\right)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+{\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}-{\frac {\nu ^{2}}{z^{2}}}$

となる。逆に考えると、昇降演算子とは微分方程式を因数分解したものだとも考えられる。

第二種 Bessel 関数

$\nu$ が非整数のときは、$J_{\nu }(z),J_{-\nu }(z)$ が独立な2解を与えるが、整数のときは、$J_{-n}(z)=(-1)^{n}J_{n}(z)$ という関係があるから、独立ではない。そこで、位数 $n$ のときの Bessel の微分方程式の独立なもうひとつの解が存在する。Bessel の微分方程式を $\nu$ で偏微分すれば、

${\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\left.\left({\frac {\partial J_{\nu }(z)}{\partial \nu }}\right)\right|_{\nu =n}+{\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\left.\left({\frac {\partial J_{\nu }(z)}{\partial \nu }}\right)\right|_{\nu =n}+\left(1-{\frac {n^{2}}{z^{2}}}\right)\left.\left({\frac {\partial J_{\nu }(z)}{\partial \nu }}\right)\right|_{\nu =n}=0$

となるから、$\left.\left({\frac {\partial J_{\nu }(z)}{\partial \nu }}\right)\right|_{\nu =n}$ は微分方程式の解である。$\left.\left({\frac {\partial J_{-\nu }(z)}{\partial \nu }}\right)\right|_{\nu =n}$ も同じ微分方程式を満たすから、その線形結合として、

$Y_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\left(\left.\left({\frac {\partial J_{\nu }(z)}{\partial \nu }}\right)\right|_{\nu =n}-(-1)^{n}\left.\left({\frac {\partial J_{-\nu (z)}}{\partial \nu }}\right)\right|_{\nu =n}\right)$

を定義すると、$J_{n}(z)$ に独立な解を与える。非整数の $\nu$ に対しては、

$Y_{\nu }(z)={\frac {\cos \nu \pi J_{\nu }(z)-J_{-\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}$

と定義すると、 $\nu \rightarrow n$ の極限として、 $Y_{n}(z)$ を得ることができる。

第一種、第二種 Hankel 関数をそれぞれ

$H_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+iY_{\nu }(z)$

$H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-iY_{\nu }(z)$

で定義する。

楕円積分と楕円関数

第一種完全楕円積分 $K(k)$ と第二種完全楕円積分 $E(k)$ は

$K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

$E(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta$

で定義される。

Taylor 展開して、

${\begin{aligned}K(k)&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {-{\frac {1}{2}}}{n}}(-1)^{n}k^{2n}\sin ^{2n}\theta d\theta \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{2n}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2n}\theta d\theta \\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}E(k)&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta \\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\frac {1}{2}}{n}}(-1)^{n}k^{2n}\sin ^{2n}\theta d\theta \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {-(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}}k^{2n}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2n}\theta d\theta \\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}\\\end{aligned}}$

となる。あるいは、超幾何関数を使うと、

$K(k)={\frac {\pi }{2}}F\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;k^{2}\right)$

$E(k)={\frac {\pi }{2}}F\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}};1;k^{2}\right)$

となる。この変形に、

$\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}=\left({\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {1+2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {1+2n-2}{2}}\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}$

$\left(-{\frac {1}{2}}\right)_{n}=\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {1+2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {1+2n-4}{2}}\right)=-{\frac {(2n-3)!!}{2^{n}}}$

を使う。

Theta関数

$\vartheta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau +2\pi inz}$

$\vartheta _{01}(z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau +2\pi in\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}=\vartheta \left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)$

$\vartheta _{10}(z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\tau +2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)z}=e^{{\frac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz}\vartheta \left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)$

$\vartheta _{11}(z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\tau +2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}=e^{{\frac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}\vartheta \left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)$

と定義する。$\vartheta _{00}(z,\tau )=\vartheta (z,\tau )$ とする。

$\vartheta (z+1,\tau )=\vartheta (z,\tau )$

$\vartheta (z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i(\tau +2z)}\vartheta (z,\tau )$

さらに、

$\vartheta _{00}(z+1,\tau )=\vartheta _{00}(z,\tau )$

$\vartheta _{01}(z+1,\tau )=\vartheta _{01}(z,\tau )$

$\vartheta _{10}(z+1,\tau )=-\vartheta _{10}(z,\tau )$

$\vartheta _{11}(z+1,\tau )=-\vartheta _{11}(z,\tau )$

また、

$\vartheta _{00}(z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i(\tau +2z)}\vartheta _{00}(z,\tau )$

$\vartheta _{01}(z+\tau ,\tau )=-e^{-\pi i(\tau +2z)}\vartheta _{01}(z,\tau )$

$\vartheta _{10}(z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i(\tau +2z)}\vartheta _{10}(z,\tau )$

$\vartheta _{11}(z+\tau ,\tau )=-e^{-\pi i(\tau +2z)}\vartheta _{11}(z,\tau )$

$\vartheta _{00}\left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)=\vartheta _{01}(z,\tau )$

$\vartheta _{01}\left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)=\vartheta _{00}(z,\tau )$

$\vartheta _{10}\left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)=-\vartheta _{11}(z,\tau )$

$\vartheta _{11}\left(z+{\frac {1}{2}},\tau \right)=-\vartheta _{10}(z,\tau )$

Jacobi の楕円関数を

$\operatorname {sn} u=-{\frac {\vartheta _{00}\vartheta _{11}(\zeta )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(\zeta )}}$

$\operatorname {cn} u={\frac {\vartheta _{01}\vartheta _{10}(\zeta )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(\zeta )}}$

$\operatorname {dn} u={\frac {\vartheta _{01}\vartheta _{00}(\zeta )}{\vartheta _{00}\vartheta _{01}(\zeta )}}$

で定義する。ただし、$k=\left({\frac {\vartheta _{10}}{\vartheta _{00}}}\right)^{2}$ ,$u=\pi \vartheta _{00}^{2}\zeta$ である。