Legendre 関数 P n ( x ) {\displaystyle P_{n}(x)} は
P n ( x ) = 1 2 n n ! d n d x n ( x 2 − 1 ) n {\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}}
で定義される。
この式を展開して、
P n ( x ) = 1 2 n n ! d n d x n ( x 2 − 1 ) n = 1 2 n n ! d n d x n ∑ k = 0 n n ! k ! ( n − k ) ! ( − 1 ) k x 2 n − 2 k = 1 2 n ∑ k = 0 [ n 2 ] 1 k ! ( n − k ) ! ( − 1 ) k ( 2 n − 2 k ) ! ( n − 2 k ) ! x n − 2 k {\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\\&={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}(-1)^{k}x^{2n-2k}\\&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}{\frac {1}{k!(n-k)!}}(-1)^{k}{\frac {(2n-2k)!}{(n-2k)!}}x^{n-2k}\end{aligned}}}
ここで、いくつかの項は微分で落ちる。項が残る条件は n − 2 k ≥ 0 {\displaystyle n-2k\geq 0} で、 k {\displaystyle k} が整数だから、 [ n 2 ] ≥ k {\displaystyle [{\frac {n}{2}}]\geq k} である。
さらに、
P n ( x ) = 1 2 n ∑ k = 0 [ n 2 ] ( − 1 ) k ( 2 n − 2 k ) ! k ! ( n − k ) ! ( n − 2 k ) ! x n − 2 k = ∑ k = 0 [ n 2 ] ( − 1 ) k 2 k ( 2 n − 2 k ) ! 2 n − k k ! ( n − k ) ! ( n − 2 k ) ! x n − 2 k = ∑ k = 0 [ n 2 ] ( − 1 ) k 2 k ( 2 n − 2 k − 1 ) ! ! ( n − 2 k ) ! x n − 2 k {\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}{\frac {(-1)^{k}(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!}}x^{n-2k}\\&=\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(2n-2k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!(n-2k)!}}x^{n-2k}\\&=\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(2n-2k-1)!!}{(n-2k)!}}x^{n-2k}\end{aligned}}}
として Legendre 関数の表示が得られる。
は
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\\&={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}(-1)^{k}x^{2n-2k}\\&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}{\frac {1}{k!(n-k)!}}(-1)^{k}{\frac {(2n-2k)!}{(n-2k)!}}x^{n-2k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a778679b1a987032251d8747893267f3f685a23c)
で、 
が整数だから、 ![{\displaystyle [{\frac {n}{2}}]\geq k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05262d0c12b41ea5c2578e66249d94990f04f6c7)
である。
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}{\frac {(-1)^{k}(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!}}x^{n-2k}\\&=\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(2n-2k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!(n-2k)!}}x^{n-2k}\\&=\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(2n-2k-1)!!}{(n-2k)!}}x^{n-2k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192686825b8bf94d88b6b75fa50bde1d9dbdbe41)
