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「高等学校数学II/指数関数・対数関数」の版間の差分

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1 行
{{pathnav|高等学校の学習|高等学校数学|高等学校数学II|pagename=指数関数・対数関数|frame=1|small=1}}
== 指数の拡張 ==
指数法則については、数学Iで すでに学んだⅢ。
 
==== 累乗根 ====
8 行
: <math>x^n=a</math>
 
となる''x'' のことを、''a'' の '''''n'' 乗根'''という。''a'' の2乗根、3乗根、4乗根、......を総称して、''a'' の'''累乗根'''という。
 
平方根は2乗根である。なお、3乗根のことを立方根（りっぽうこん）ともいう。
 
この章の学習では、最終的に n を正の整数だけでなく、実数にまで拡張していくが、とりあえず学習当初の当面は n を整数で考えておこう。
 
; 例
35 行
同様に、27の3乗根は、正の3だけである。
 
このように、nを奇数の自然数としたとき、実数 a のn乗根 は1通りである。
 
* 例
 
: (I) 　2<sup>3</sup>23 = 8 であるから、8の3乗根は2。
: (II) 　3<sup>4</sup> = (-3)<sup>4</sup> = 81 であるから、81の4乗根は &#xB1; 3。
 
 
''a'' の''n'' 乗根 ''x'' について考える。
(1) 　''n'' が奇数のとき、実数 a のn乗根 はただ1つであり、これを < で表す。
[[ファイル:Radical_root_graph_odd_japanese.svg|サムネイル|326x326ピクセル]]
(1) 　''n'' が奇数のとき、実数 a のn乗根 はただ1つであり、これを <math>\sqrt[n]{a}</math> で表す。
 
* 例
 
: <math>\sqrt[3]{8} = 2</math>
 
: <math>\sqrt[3]{-8} = -2</math>
 
: <math>\sqrt[5]{-32} = -2</math>
 
{{-}}
[[ファイル:Radical_root_graph_evev_japanese.svg|サムネイル|326x326ピクセル]]
(2) 　''n'' が偶数のとき、正の実数aのn乗根は、正と負の2つの数がある。
 
負のほうは <math>- \sqrt[n]{a}</math> で表す。正の方は <math>\sqrt[n]{a}</math>、で表す。
 
''a'' < 0 のとき、実数の範囲では ''a'' の''n'' 乗根はない。
65 ⟶ 54行目:
n が偶数か奇数かにかかわらず、0のn乗根は0なので、
 
: <math>\sqrt[n]{0} = 0</math>シシシシ・ゴッポ
 
である。
71 ⟶ 60行目:
* 例
 
: (I) 　''x''<sup>4</sup> = 3 であるとき、<math>x= \pm \sqrt[4]{3}</math>
: (II) 　''x''<sup>6</sup> = -16 を満たす''x'' はない。
 
特に2乗根<math>\sqrt[2]{a}</math> は <math>\sqrt{a}</math> と書く。
 
* 問題例
** 問題
*: 次の値を求めよ。
*: 　(i) 　<math>\sqrt{36}</math>
*: 　(ii) 　<math>\sqrt[5]{32}</math>
*: 　(iii) 　<math>\sqrt[3]{-8}</math>
*: 　(iv) 　<math>- \sqrt[4]{81}</math>
** 解答
*: 　(i) 　<math>\sqrt{36} = \sqrt{6^2} = 6</math>
*: 　(ii) 　<math>\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2</math>
93 ⟶ 73行目:
''a'' > 0 のとき、''x<sup>n</sup>'' = ''a'' の解は <math>x= \sqrt[n]{a}</math> であるから、
 
: <math>\left( \sqrt[n]{a} \right)^n=a</math>r
 
また
 
: <math>\sqrt[n]{a} >0</math>
 
{| cellspacing="0" style="border:2px solid skyblue;width:80%"
| style="background:skyblue" |'''累乗根の公式'''牛🐮
|-
| style="padding:5px" |''a'' > 0, ''b'' > 0 で、''m''🐮,,, ''n'', ''p'' が正の整数のとき
 
: 1 　<math>\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}</math>🐮
 
: 2 　<math>\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}</math>
 
: 3 　<math>\left( \sqrt[n]{a} \right)^m = \sqrt[n]{a^m}</math>
🐮🐮🐮🐮🐮🐮🐮あゝ、、これアイコンにしたいと思うのでびっくりしました貴方と申しますよろしくお願いしますように出るしそうなんだw
: 4 　<math>\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}</math>打ったら、！ツ始めました貴方と申しますよろしくお願いしますように出るしそうなんだwせず、自分から申請ありがとうございます目です体の👂👂👂👂、、、これアイコンにしたいと思うのでびっくりしました貴方と申しますよろしくお願いしますように出るしそうなんだwせず、自分から申請ありがとうございます目です体の👂👂👂👂、、、これアイコンにしたいと思うのでびっくりしました貴方と申しますよろしくお願いしますように出るしそうなんだwせず、自分から申請ありがとうございます目です♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪今日桜舞い散る季節ですがよろしくお願いしますような〜
 
: 45 　<math>\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}^m} = \sqrt[mn]{a}</math>九州男児は！ずさん色々おめでとうと言う馬がいるかな〜
 
: 5 　<math>\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}</math>
|}
例
119 ⟶ 99行目:
 
* 計算例
*: (i) 　<math>\sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3sq3]{2^4} = \sqrt[3]{2^3 \times 2} = 2 \sqrt[3]{2}</math>
*: (ii) 　<math>\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{4 \times 6} = \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \times 3t3} = 2 \sqrt[3]{3}</math>
*: (iii) 　<math>\left( \sqrt[4]{9} \right)ri^3 = \sqrt[4]{9^3} = \sqrt[4]{3^6} = \sqrt[2 \times 2]{3^{3 \times 2}} = \sqrt{3^3} = 3 \sqrt{3}</math>
 
==== 指数の拡張 ====
 
===== 有理数を指数とする場合 =====
有理数を指数とする累乗を、次区へ聞くへすべくめくりるるせぬ背濡れ見れてぬ身るすぬみよつむれセフユース日ミース被リンクにゆー国揺れセフのように定義する。
{| cellspacing="0" style="border:2px solid skyblue;width:80%"
| style="background:skyblue" |'''有理数の指数'''
134 ⟶ 114行目:
: <math> a^ {\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} </math>
 
: <math> a^ {- \frac{m}{n}} = \frac{1} すみみるしレスレスにミルズ塗るぞ見ると群れ{ \sqrt[n]{a^m} } </math>
|}
 
141 ⟶ 121行目:
{| cellspacing="0" style="border:2px solid skyblue;width:80%"
| style="background:skyblue" |'''指数法則'''
|みれすんてれつにみゆでフレキやれせ列や列踏めれ！！んる寝る寝るつろ連れせるする天敵
|-
| style="padding:5px" |''a'' > 0, ''b'' > 0 で、''p'', ''q'' が有理数のとき
 
# 　<math>a^m a^n= a^{m+n}</math>
# 　<math>(a^p)^q = a^{pq}</math>
# 　<math>寝る寝る寝る寝る寝る寝る寝る寝る寝るね(ab)^p = a^p b^p</math>
# 　<math>\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}</math>
# 　<math>\left( \frac{a}{b} \right)^r = \frac{a^r}{b^r}</math>
161 ⟶ 141行目:
\end{align}</math>
 
と考えることが出来る。よって、0以外の全ての実数''x'' に対して、
 
: <math>
171 ⟶ 151行目:
* 問題例
** 問題
*: せそれぞれの計算を行い、式を簡単化せよ。
*: (i) <math>
9^{1/6}
178 ⟶ 158行目:
8^{1/3}
</math>
*: (ぬりぬるぬるえiii) <math>
48^{1/4}
</math>
*: (iv) <math>
3^{
3^{1/3} \cdot 9^{1/6}
</math>
*: (v) <math>
4^2\cdot 3^{1/2} \cdot 12 ^{1/2}
</math>
*: (vi) <math>
4^{1/3} \cdot 3 ^{3/4}\cdot 12^{1/6}
</math>
*: (vii) <math>
4^0
</math>
** 解答
*: (i) <math>
3^{{{1}\over{3}}}
</math>
*: (ii) <math>
2
</math>
*: (iii) <math>
2 \cdot 3^{1/4}
</math>
*: (iv) <math>
3^{{{2}\over{3}}}
</math>
*: (v) <math>
96
</math>
*: (vi) <math>
2\cdot 3^{{{11}\over{12}}}
</math>
*: (vii) <math>
1
</math>
 
指数法則1に、''r'' = 3, ''s'' = -3 を代入すれば
 
: <math>a^3 \times a^{-3} = a^{3+(-3)} = a^0 =1</math>
 
ゆえに
 
: <math>a^{-3} = \frac{1}{a^3}</math>
 
指数法則2に、''r'' = 2/3, ''s'' = 3 を代入すれば
 
: <math>\left( a^{\frac{2}{3}} \right)^3 = a^{\frac{2}{3} \times 3} = a^2</math>
 
となるから、''a''<sup>2/3</sup> は ''a''<sup>2</sup> の3乗根ということになる。つまり、
 
: <math>a^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{a^2}</math>
 
指数法則1に、''r'' = -2/3, ''s'' = 2/3 を代入すれば
 
: <math>a^{- \frac{2}{3}} \times a^{\frac{2}{3}} = a^{- \frac{2}{3} + \frac{2}{3}} = a^0 =1</math>
 
ゆえに
 
: <math>a^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{a^{\frac{2}{3}}}</math>
 
{| cellspacing="0" style="border:2px solid　orange;width:80%"
| style="background:orange" |'''指数の拡張'''
|-
| style="padding:5px" |''a'' > 0 で、''m'', ''n'' が正の整数のとき
 
# <math>a^0 = 1</math>
# <math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}</math>
# <math>a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left( \sqrt[n]{a} \right)^m</math>
# <math>a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}</math>
|}
 
===== 指数が無理数の場合 =====
たとえば <math>3^{\sqrt 2 } </math> の場合、 これは、 <math>\sqrt 2 = 1.41421 \cdots </math> であるが、
 
: <math>3^{1.4} </math> , 　<math>3^{1.41} </math> , 　<math>3^{1.414} </math> , 　<math>3^{1.4142} </math> , 　<math>3^{1.41421} </math> , ・・・
 
を考えると、その項は一定値 4.72880 ・・・ に近づくので、その値を <math>3^{\sqrt 2} </math> と定める。
 
 
このようにして、累乗の指数が無理数の場合にも定義を拡張することで、指数を実数にまで拡張できる。また、実数の場合も上述の指数法則が成り立つ。
 
== 指数関数 ==
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