「電磁気学/電磁波の式の導出」の版間の差分

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通常、マクスウェルの式は '''E''' を[[w:電場|電場の強度]]、'''B''' を[[w:磁束密度|磁束密度]]、'''D''' を[[w:電束密度|電束密度]]、'''H''' を[[w:磁場|磁場の強度]]、''ρ'' を[[w:電荷密度|電荷密度]]、'''j''' を[[w:電流密度|電流密度]]として、[[w:作用素|作用素]] [[w:ナブラ|∇]] を用いて
 
:<math>\begin{cases}\nabla\cdot\mathbf{B}(t,\mathbf{x})&=0\\
{| style="width:100%"
\nabla\times\mathbf{E}(t,\mathbf{x})+\frac{\partial\mathbf{B}(t,\mathbf{x})}{\partial t}&=0\\
|valign=top style="width:0%;text-indent:0em"|
\nabla\cdot\mathbf{D}(t,\mathbf{x})&=\rho(t,\mathbf{x})\\
|valign=top style="width:0%;text-indent:0em"|
\nabla\times\mathbf{H}(t,\mathbf{x})-\frac{\partial\mathbf{D}(t,\mathbf{x})}{\partial t}&=\mathbf{j}(t,\mathbf{x})\end{cases}</math>
:<math> \begin{cases} \\
\\
\\
\\
\\
\\
\end{cases} </math>
|valign=top style="width:100%;text-indent:1em"|
:<math>\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf{B} (t,\mathbf{x})&=0\\</math>
 
<math>\nabla\times\mathbf{E}(t,\mathbf{x})+\frac{\partial\mathbf{B}(t,\mathbf{x})}{\partial t}&=0\\</math>
 
<math>\nabla\cdot\mathbf{D}(t,\mathbf{x})&= \rho(t,\mathbf{x})\\</math>
 
<math>\nabla\times\mathbf{H}(t,\mathbf{x})-\frac{\partial\mathbf{D}(t,\mathbf{x})}{\partial t}& =\mathbf{j}(t,\mathbf{x})\end{cases}</math>
 
|}
 
と表記されるが、[[w:マクスウェルの方程式#真空中|真空中]]では[[w:E-B対応とE-H対応|E-B対応とE-H対応]]により、電束密度 '''D''' と電場 '''E''' 及び磁場の強度 '''H''' と磁束密度 '''B''' がそれぞれ
:<math>\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}</math>
:<math>\mathbf{H}=\frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}</math>
と言う関係にあるため、[[w:ベクトル解析|ベクトル解析]]の[[w:回転 (ベクトル解析)|回転]](「&nabla;&times;」)と[[w:勾配 (ベクトル解析)|勾配]](「&nabla;」)及び[[w:発散 (ベクトル解析)|発散]](「&nabla;&middot;」)と[[w:ラプラス作用素|ラプラシアン]](「&nabla;²」)の[[w:演算子|演算子]]をそれぞれ
:<math>\operatorname{rot},~\operatorname{grad},~\operatorname{div},~\Delta</math>
と[[w:定義|定義]]すると
 
:<math>\begin{cases}\operatorname{div}\mathbf{B}=0&\cdots\,(1)\\
{| style="width:100%"
\operatorname{rot}\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}&\cdots\,(2)\\
|valign=top style="width:0%;text-indent:0em"|
\operatorname{div}\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}&\cdots\,(3)\\
|valign=top style="width:0%;text-indent:0em"|
\operatorname{rot}\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}&\cdots\,(4)\end{cases}</math>
:<math> \begin{cases} \\
\\
\\
\\
\\
\\
\end{cases} </math>
 
|valign=top style="width:100%;text-indent:1em"|
:<math>\begin{cases}\operatorname{div}\mathbf{B} = 0& </math>         <math>\cdots\,(1)\\</math>
 
<math>\operatorname{rot}\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}& </math>       <math>\cdots\,(2)\\</math>
 
<math>\operatorname{div}\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}& </math>        <math>\cdots\,(3)\\</math>
 
<math>\operatorname{rot}\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{j}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}& </math>  <math>\cdots\,(4)\end{cases}</math>
 
|}
と表わせる。