「初等整数論/べき剰余」の版間の差分
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<math>a \not\equiv 0</math> のとき <math>a</math> が平方剰余、非剰余にしたがって
<math>\left( \frac{a}{p} \right) = 1, \, -1</math> とする。これを'''ルジャンドル記号と呼ぶ。
'''補題 1'''
<math>r</math> を <math>p</math> の原始根とする。[[初等整数論/合同の応用#定理 2.9|定理 2.9]] から <math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math> が解を持つのと <math>Ind_r \, a</math> が <math>(2, p-1) = 2</math> で割り切れるというのは同値である。したがって
<math>\left( \frac{a}{p} \right) = (-1)^{Ind_r \, a}.</math>
====== 定理 2.10 ======
<math>a \equiv a' \pmod{p}</math> ならば <math>\left( \frac{a}{p} \right) = \left( \frac{a'}{p} \right)</math>
'''証明'''<br />
18 行
====== 定理 2.11 ======
<math>\left( \frac{abc\cdots}{p} \right) = \left( \frac{a}{p} \right) \left( \frac{b}{p} \right) \left( \frac{c}{p} \right) \cdots</math>
'''証明'''<br />
補題 1 より <math>\left( \frac{abc\cdots}{p} \right) = (-1)^{Ind_r \, abc\cdots}</math>
[[初等整数論/合同の応用#定理 2.8|定理 2.8]] より
32 行
ここで再び補題 1 より
<math>= \left( \frac{a}{p} \right) \left( \frac{b}{p} \right) \left( \frac{c}{p} \right) \cdots.</math>
====== 定理 2.12 (オイラーの規準) ======
<math>\left( \frac{a}{p} \right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p}</math>
'''証明 1'''<br />
44 行
ここで、<math>(2, p-1) = 2</math> より、<math>a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}</math>
したがって <math
逆に <math>\iff \left( \frac{a}{p} \right) = -1</math> のとき、
再び定理 2.9 から
54 行
<math>(a^{\frac{p-1}{2}})^2 = a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.</math>
よって <math>a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \equiv \left( \frac{a}{p} \right) \pmod{p}.</math>
以上より定理は証明される。
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