「初等整数論/べき剰余」の版間の差分
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96 行
# <math>\left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p^2 - 1}{8}}</math>
2, 3 をそれぞれ'''第一補充法則'''、'''第二補充法則'''という。
'''証明'''<br />
2 から証明する。
オイラーの規準より、<math>\left( \frac{1}{p} \right) \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p}.</math>
どちらも <math>\pm 1</math> の値を取り、<math>p</math> は奇素数なので <math>\left( \frac{1}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}.</math>
さて、3 であるが、これにはガウスの補題を用いる。
====== ガウスの補題 ======
<div style="padding: 20px; border: 1px #ccc solid;">
<math>(a, p) = 1</math> のとき、<math>A = \{ a, 2a, 3a, \cdots , \frac{p-1}{2} a \}</math> をそれぞれ <math>p</math> で割ったときの余りが <math>\frac{p}{2}</math> より大きい数が <math>n</math> 個あったとき、
<math>\left( \frac{a}{p} \right) = (-1)^n.</math>
'''証明'''<br />
ある数を <math>p</math> で割った余りが <math>\frac{p}{2}</math> よりも大きいならば、それから <math>p</math> を引くと <math>-\frac{p}{2}</math> よりも大きい負の余りを得る。つまり、絶対最小剰余である。上の <math>n</math> というのは負の絶対最小剰余の個数である。
<math>A</math> の任意の2つの数 <math>ax, ay \ (x \neq y)</math> について、
<math>(a, p) = 1, \frac{1-p}{2} \leqq x \pm y \leqq frac{p+1}{2}</math> であり、<math>x \pm y \neq 0</math> より、<math>A</math> の中には絶対最小剰余として等しいもの、また絶対最小剰余として符号が逆なものも存在しない。すなわち全体として符号を無視すれば
<math>\{ 1, 2, 3, \cdots , \frac{p-1}{2} \}</math> に合同で、そのうち負の数の個数が <math>n</math> である。したがって
<math>\begin{align}
& a \cdot 2a \cdot 3a \cdots \frac{p-1}{2}a \equiv (-1)^n\cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots \frac{p-1}{2} \\
& \iff a^{\frac{p-1}{2}} \equiv (-1)^n \ \ (\because (1, p) = (2, p) = \cdots = (\frac{p-1}{2}, p) = 1)
\end{align}</math>
オイラーの規準によって
<math>\left( \frac{a}{p} \equiv (-1)^n \right) \pmod{p}.</math>
どちらも <math>\pm 1</math> に等しく、<math>p</math> は奇素数なので
<math>\left( \frac{a}{p} \equiv (-1)^n \right).</math>
</div>
さて 3 の証明だが、
<math>2, 4, 6, \cdots , p-1</math>
の中で <math>\frac{p}{2}</math> より多いものの個数が <math>n</math> である。
(i) <math>p = 8n + 1</math> のとき
<math>\frac{p}{2} = 4n + \frac{1}{2}, \ p-1 = 8n</math> なので、この間にある偶数の数は <math>\frac{8n-4n}{2} = 2n</math> であり、<math>\left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{2n} = 1</math>
また <math>\frac{p^2-1}{8} = 8n^2 + 2n</math> より、<math>(-1)^{\frac{p^2-1}{2}} = 1</math> で、
<math>\left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{2}}.</math>
(ii) <math>p = 8n + 3</math> のとき
<math>\frac{p}{2} = 4n + \frac{3}{2}, \ p-1 = 8n + 2</math> なので、この間にある偶数の数は <math>\frac{(8n + 2) - (4n + 2)}{2} + 1 = 2n + 1</math> であり、<math>\left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{2n + 1} = -1.</math>
また <math>\frac{p^2-1}{2} = 8n^2 + 6n + 1</math> より、<math>(-1)^{\frac{p^2-1}{2}} = -1</math> で、
<math>\left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{2}}.</math>
(iii) <math>p = 8n + 5</math> のとき
<math>\frac{p}{2} = 4n + \frac{5}{2}, \ p-1 = 8n + 4</math> なので、この間にある偶数の数は <math>\frac{(8n+4) - (4n + 2)}{2} = 2n+1</math> であり、<math>\left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{2n + 1} = -1.</math>
また <math>\frac{p^2-1}{2} = 8n^2 + 10n + 3</math> より、<math>(-1)^{\frac{p^2-1}{2}} = -1</math> で、
<math>\left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{2}}.</math>
(iv) <math>p = 8n + 7</math> のとき
<math>\frac{p}{2} = 4n + \frac{7}{2}, \ p-1 = 8n + 6</math> なので、この間にある偶数の数は <math>\frac{(8n+4) - (4n + 4)}{2} = 2n</math> であり、<math>\left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{2n} = -1.</math>
また <math>\frac{p^2-1}{2} = 8n^2 + 14n + 3</math> より、<math>(-1)^{\frac{p^2-1}{2}} = -1</math> で、
<math>\left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{2}}.</math>
以上により 3 が証明される。
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