「初等整数論/連分数」の版間の差分

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(ページの作成:「連分数は分母に分数が出る形の式のことである。 <math>a_0 + \frac{b_0}{ \displaystyle a_1 + \frac{b_1}{ \displaystyle a_2 + \frac{b_2}{ \displaystyle...」)
 
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x_2 & = k_1x_2 + x_3 \\
& \cdots \\
x_nx_{n-1} & = k_{n-1}x_n + x_{n+1} \\
& \cdots
\end{cases}</math>
 
====== 定理 4.1 ======
<math>p_1p_0 = 1, \ p_n = \left[ k_0, k_1, \cdots , k_{n-1} \right] \ (n = 1, 2, \cdots )</math> とおくと
 
<math>x_nx_0 = p_nx_n + p_{n-1}x_{n+1} \ \ (n = 1, 2, \cdots)</math> (<math>p_n</math> は <math>\left[ \right]</math> の再記である)
 
'''証明'''<br />
<math>x_0 = k_0x_1 + x_2 = p_1x_1 + p_0x_2</math> より、 <math>n = 1</math> のときは自明に成り立つ。
 
次に、<math>n</math> のとき成り立つとすると
 
<math>x_0 = p_nx_n + p_{n-1}x_{n+1}</math> 方程式の式を代入して
 
<math>\begin{align}
x_0 & = p_n(k_nx_{n+1} + x_{n+2}) + p_{n-1}x_{n+1} \\
& = (p_nk_n + p_{n-1})x_{n+1} + p_nx_{n+2} \\
& = ( k_n \left[ k_0, k_1, \cdots , k_{n-1} \right] + \left[ k_0, k_1, \cdots , k_{n-2} \right] )x_{n+1} + p_nx_{n+2} \\
& = ( \left[ k_0, k_1, \cdots , k_n \right] )x_{n+1} + p_nx_{n+2} \\
& = p_{n+1}x_{n+1} + p_nx_{n+2} \\
\end{align}</math>
 
すなわち <math>n+1</math> のときでも成り立つ。
 
以上より数学的帰納法で証明される。
 
 
なお、この構造は <math>k_n</math> を互除法の逐次商とみたときに[[初等整数論/算術の基本定理#一次不定方程式|一次不定方程式]]の係数の漸化式と同じである。
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