「初等整数論/連分数」の版間の差分

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\end{cases} \cdots (1)</math>
 
さてガウスの取っ用いた記号にならって、次の記号を定める。
 
<math>\begin{align}
\left[ k_0 \right] & = k_0 \\
\left[ k_0, k_1 \right] & = k_0 k_1 + 1 \\
\left[ k_0, k_1, \cdots , k_{n+1} \right] & = k_nk_{n+1} \left[ k_0, k_1, \cdots , k_{n-1}k_n \right] + \left[ k_0, k_1, \cdots , k_{n-21} \right]
\end{align}</math>
 
さて、<math>p_n, q_n</math> を計算するには次の等式を用いるのが簡便である。
 
<math>\left[ k_0, k_1, \cdots, k_{n-+1} \right] = k_0 \left[ k_1, k_2, \cdots, k_{n-+1} \right] + \left[ k_2, k_3, \cdots, k_{n-+1} \right] \ \ \cdots (6)</math>
 
<math>n = 1</math> のとき、定義より
 
<math>\begin{align}
\left[ k_0, k_1, k_2 \right] & = k_2 \left[ k_0, k_1 \right] + \left[ k_0 \right] \\
& = k_2 (k_0k_1 + 1) + k_0 \\
& = k_0(k_1k_2 + 1) + k_2 \\
& = k_0 \left[ k_1, k_2 \right] + \left[ k_2 \right]
\end{align}</math>
 
したがって成り立つ。
 
<math>n = 2</math> のとき、
 
<math>
\begin{align}
\left[ k_0, k_1, k_2, k_3 \right] & = k_3 \left[ k_0, k_1, k_2 \right] + \left[ k_0, k_1 \right] \\
& = k_3(k_2 \left[ k_0, k_1 \right] + \left[ k_0 \right]) + k_0k_1 + 1 \\
& = k_3(k_2k_0k_1 + k_2 + k_0) + k_0k_1 + 1 \\
& = k_0k_1k_2k_3 + k_2k_3 + k_0k_3 + k_0k_1 + 1 \\
\\
\end{align}
 
\begin{align}
k_0 \left[ k_1, k_2, k_3 \right] + \left[ k_2, k_3 \right] & = k_0(k_3 \left[ k_1, k_2 \right] + \left[ k_1 \right]) + k_2k_3 + 1 \\
& = k_0(k_3k_2k_1 + k_3) + k_2k_3 + 1 \\
& = k_0k_1k_2k_3 + k_2k_3 + k_0k_1 + 1 \\
\\
\end{align}
\therefore \ \left[ k_0, k_1, k_2, k_3 \right] = k_0 \left[ k_1, k_2, k_3 \right] + \left[ k_2, k_3 \right]
</math>
 
したがって成り立つ。
 
 
次に、<math>n < m \ \ (3 \leqq m)</math> なる全ての <math>n</math> について成り立つとすると
 
<math>\begin{align}
\left[ k_0, k_1, \cdots, k_{m+1} \right] & = k_{m+1} \left[ k_0, k_1, \cdots , k_m \right] + \left[ k_0, k_1, \cdots , k_{m-1} \right] \\
& = k_{m+1} (k_0 \left[ k_1, k_2, \cdots, k_m \right] + \left[ k_2, k_3, \cdots, k_m \right]) + (k_0 \left[ k_1, k_2, \cdots, k_{m-1} \right] + \left[ k_2, k_3, \cdots, k_{m-1} \right]) \\
& = k_0 (k_{m+1} \left[ k_1, k_2, \cdots, k_m \right] + \left[ k_1, k_2, \cdots, k_{m-1} \right]) + (k_{m+1} \left[ k_2, k_3, \cdots, k_m \right] + \left[ k_2, k_3, \cdots, k_{m-1} \right]) \\
& = k_0 \left[ k_1, k_2, \cdots, k_{m+1} \right] + \left[ k_2, k_3, \cdots, k_{m+1} \right] \\
\end{align}</math>
 
よって、<math>m</math> も成り立つ。以上より全ての場合に成り立つことが分かり、(6) は累積帰納法で証明される。
 
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