「初等整数論/連分数」の版間の差分

編集の要約なし
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<math>a_0 + \frac{b_0}{ \displaystyle a_1 + \frac{b_1}{ \displaystyle a_2 + \frac{b_2}{ \displaystyle a_3 + \frac{b_3}{\cdots} } } }</math>
 
話を単純にするため分子がみな 1 になる連分数を扱う。すなわち
 
<math>a_0 + \frac{1}{ \displaystyle a_1 + \frac{1}{ \displaystyle a_2 + \frac{1}{ \displaystyle a_3 + \frac{1}{\cdots} } } }</math>
 
このような連分数はスペースを取るので様々な省略記法があるのだが、ここでは上の連分数を
\end{align}</math>
 
よって、<math>m</math> も成り立つ。以上より全ての場合に成り立つことが分かり、(6) は累積帰納法で証明される。この式を使えば、後ろから <math>\left[ k_{n+1} \right], \ \left[ k_{n}, k_{n+1} \right], \ \left[ k_{n-1}, k_{n}, k_{n+1} \right], \cdots</math> が次々に求まり、楽に計算ができる。
 
さて、目標としていたことは連分数を計算することだったが、それは (6) を用いれば簡単にできる。
 
<math>(a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n)</math> は冒頭と同じく
 
<math>a_0 + \frac{1}{ \displaystyle a_1 + \frac{1}{ \displaystyle a_2 + \frac{1}{ \displaystyle a_3 + \frac{1}{ \displaystyle \cdots + \frac{1}{ \displaystyle a_{n-1} + \frac{1}{ \displaystyle a_n} } } } } }</math>
 
を表すこととする。
 
<math>(k_0, k_1, k_2, \cdots , k_n) = \frac{ \left[ k_0, k_1, k_2, \cdots , k_n \right] }{ \left[ k_1, k_2, \cdots , k_n \right] }</math> が成り立つ。
 
なぜなら、(6) によって左辺は
<!--
(2) より
 
<math>\begin{align}
\frac{ x_0 & =k_0 \left[ k_0k_1, k_1k_2, \cdots , k_{n-1}k_n \right]x_n + \left[ k_0k_2, \cdots, k_n \right] }{ \left[ k_1, k_2, \cdots , k_k_n \right] } & = k_0 + \frac{n-21}{ \displaystyle \frac{ \left[ k_1, k_2, \cdots, k_n \right]x_ }{n+1 \left[ k_2, \cdots, k_n \right] } } \\
& = x_1 &k_0 =+ \left[frac{1}{ \displaystyle k_1 + \frac{1}{ \, \displaystyle \frac{ \left[ k_2, \cdots , k_{n-1}k_n \right]x_n +}{ \displaystyle \left[ k_1, k_2k_3, \cdots , k_{n-2}k_n \right]x_{n+1} \\, } } }
x_2 & = \left[ k_2, k_3, \cdots , k_{n-1} \right]x_n + \left[ k_2, k_3, \cdots , k_{n-2} \right]x_{n+1} \\
\end{align}</math>
 
となるからである。
2番目の式に <math>k_0</math> をかけて <math>x_1</math>
-->
1,326

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