「初等整数論/多項式」の版間の差分
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Angol Mois (トーク | 投稿記録) ページの作成:「多項式とは、 <math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0</math> のことである。<math>x</math> のことを「変数」、<math>a_k</math> を「係...」 |
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<math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0</math>
のことである。<math>x</math> のことを「変数」、<math>a_k</math> を「係数」という。一般に係数は範囲が明確に示されることが多い。ここでは特に断りが無いとき係数は
さて、式は次の2つに分けることができる。
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さて、多項式に関して[[初等整数論/整除性|整数の場合]]と同じように整除性について組み立てることができる。
== 因数 ==
今から一般に変数が1つの多項式を扱う。多項式は <math>P(x)</math> で表す。何が変数なのか明らかな場合は <math>P</math> と省略して書く。
'''定義'''
<math>P(x) = Q(x)R(x)</math> という恒等式が成り立つとき、<math>P</math> は <math>Q, R</math> を'''因数に持つ'''、<math>P</math> は <math>Q, R</math> で'''割り切れる'''という。記号で <math>Q \, | \, P</math> と書くことにする。
====== 定理 1 ======
<math>R \, | \, P_1, P_2, \cdots , P_n</math> のとき、<math>R \, | \, P_1Q_1 + P_2Q_2 + \cdots P_nQ_n</math>
'''証明'''<br />
仮定より <math>P_1 = RS_1, \, P_2 = RS_2, \cdots , P_n = RS_n</math> とおく。すると、
<math>\begin{align}
P_1Q_1 + P_2Q_2 + \cdots P_nQ_n & = RS_1Q_1 + RS_2Q_2 + \cdots + RS_nQ_n \\
& = R(S_1Q_1 + S_2Q_2 + \cdots + S_nQ_n)
\end{align}</math>
よって定理は証明される。
== 剰余について ==
さて、整数の整除についての根幹を成す定理は[[初等整数論/整除性#除法の原理|定理 1.2]] であるが、幸いにも多項式にも同様の定理が成り立つことが言える。
====== 定理 2 ======
任意の多項式 <math>A, B</math> について、
<math>A = BQ + R</math> で、<math>R</math> の次数が <math>B</math> よりも小さいような組 <math>(Q, R)</math> がただ一つ存在する。
'''証明'''<br />
多項式の次数を <math>|A|</math> と表すこととする。
<math>|A| < |B|</math> のとき、
<math>Q = 0, R = A</math> とすれば定理の主張を満たす。
<math>|A| = |B|</math> のとき、
<math>A = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0, \ B = b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \cdots + b_1x + b_0</math> とする。このとき、
<math>b_n \neq 0</math> であることから、<math>Q = \frac{a_n}{b_n}B</math> とおくと、
<math>BQ = a_nx^n + \frac{a_nb_{n-1}}{b_n}x^{n-1} + \cdots + \frac{a_nb_1}{b_n}x + \frac{a_nb_0}{b_n}.</math> したがって、
<math>A - BQ = (a_{n-1} - \frac{a_nb_{n-1}}{b_n})x^{n-1} + \cdots + (a_1 - \frac{a_nb_1}{b_n})x + (a_0 - \frac{a_nb_0}{b_n})</math> となる。
<math>R = A - BQ</math> とおけば、この式は <math>A = BQ + R</math> と恒等式になり、また明らかに <math>|R| < |A|.</math> よって定理の主張を満たす。
[[Category:初等整数論]]
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