「初等整数論/多項式」の版間の差分
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<math>Q = 0, R = A</math> とすれば定理の主張を満たす。
<math>|A| = |B|</math> のとき、
70 ⟶ 71行目:
<math>b_n \neq 0</math> であることから、<math>Q = \frac{a_n}{b_n}B</math> とおくと、
<math>BQ = a_nx^n + \left( \frac{a_nb_{n-1}}{b_n} \right) x^{n-1} + \cdots + \left( \frac{a_nb_1}{b_n} \right) x + \left( \frac{a_nb_0}{b_n} \right).</math> したがって、
<math>A - BQ = \left( a_{n-1} - \frac{a_nb_{n-1}}{b_n} \right) x^{n-1} + \cdots + \left( a_1 - \frac{a_nb_1}{b_n} \right) x + \left( a_0 - \frac{a_nb_0}{b_n} \right)</math> となる。
<math>R = A - BQ</math> とおけば、この式は <math>A = BQ + R</math> と恒等式になり、また明らかに <math>|R| < |A|.</math> よって定理の主張を満たす。
次に <math>|A| > |B|</math> のときであるが、これには数学的帰納法を用いる。
<math>|A| = \alpha, \, |B| = \beta</math> とし、<math>\alpha - \beta = n > 0</math> なので、<math>n</math> に対して数学的帰納法を用いる。
<math>A = a_{\alpha}x^{\alpha} + a_{\alpha-1}x^{\alpha-1} + \cdots + a_1x + a_0, \ B = b_{\beta}x^{\beta} + b_{\beta - 1}x^{\beta - 1} + \cdots + b_1x + b_0</math>
とおく。
(i) <math>n = 1</math> のとき
<math>B = b_{\alpha-1}x^{\alpha-1} + b_{\alpha - 2}x^{\alpha - 2} + \cdots + b_1x + b_0</math> となる。
このとき、<math>\left( \frac{ a_{\alpha} }{ b_{\alpha - 1} } x \right) B = a_{\alpha}x^{\alpha} + \left( \frac{ a_{\alpha} b_{\alpha - 1} }{ b_{\alpha - 1} } \right) x^{\alpha - 1} + \cdots +\left( \frac{ a_{\alpha} b_1 }{ b_{1} } \right) x^2 + \left( \frac{ a_{\alpha} b_0 }{ b_{\alpha - 1} } \right) x</math>
したがって、<math>Q = \frac{ a_{\alpha} }{ b_{\alpha - 1} } x</math> とおけば、
<math>R = A - BQ = \left( a_{\alpha-1} - \frac{a_{\alpha} b_{\alpha - 1} }{ b_{\alpha - 1} } \right) x^{\alpha - 1} + \cdots +\left( a_2 - \frac{ a_2 b_1 }{ b_{1} } \right) x^2 + \left( a_1 \frac{ a_{\alpha} b_0 }{ b_{\alpha - 1} } \right) x + a_0</math>
となり、よって定理の主張を満たす。
(ii) <math>n = k</math> のとき正しいとする。
さて、<math>A = a_{\alpha}x^{\alpha} + a_{\alpha-1}x^{\alpha-1} + \cdots + a_1x + a_0, \ B = b_{\beta}x^{\beta} + b_{\beta - 1}x^{\beta - 1} + \cdots + b_1x + b_0</math> とおいて、
<math>\alpha - \beta = k+1</math> だとする。<math>A</math> の最高次を取った多項式
<math>A' = a_{\alpha-1}x^{\alpha-1} + \cdots + a_1x + a_0</math> について、<math>|A'| - |B| = k</math> より、帰納法の仮定から
<math>A' = BQ + R \ \ (|R| < |B|)</math> と書ける。
<math>\left( \frac{a_{\alpha}}{b_{\beta}} x^{\alpha - \beta} \right)B = a_{\alpha}x^{\alpha} + \left( \frac{b_{\beta - 1} a_{\alpha}}{b_{\beta}} \right) x^{\alpha - 1} + \cdots + \left( \frac{b_1 a_{\alpha}}{b_{\beta}} \right) x^{\alpha - \beta + 1} + \left( \frac{b_0 a_{\alpha}}{b_{\beta}} \right) x^{\alpha - \beta}</math>
したがって、
<math>S = \frac{a_{\alpha}}{b_{\beta}} x^{\alpha - \beta}, \ C = \left( \frac{b_{\beta - 1} a_{\alpha}}{b_{\beta}} \right) x^{\alpha - 1} + \cdots + \left( \frac{b_1 a_{\alpha}}{b_{\beta}} \right) x^{\alpha - \beta + 1} + \left( \frac{b_0 a_{\alpha}}{b_{\beta}} \right) x^{\alpha - \beta}</math> とおけばこの式は
<math>SB = a_{\alpha}x^{\alpha} + C</math> と書ける。ところで <math>a_{\alpha}x^{\alpha} = A - A'</math> より、
<math>SB = (A - A') + C \iff A = SB + A' - C \iff A = SB + BQ + R - C \iff A = B(S+Q) + (R-C) \cdots (1)</math>
ここで <math>|C| - |B| = \alpha - 1 - \beta = k</math> より帰納法の仮定から <math>C = BQ' + R' \ \ (|R'| < |B|)</math> と書ける。
<math>\therefore (1) \iff A = B(S+Q) + (R-BQ' - R') \iff A = B(S+Q-Q') + (R - R')</math>
ここで <math>|R| < |B|, \ |R'| < |B|</math> より <math>|R - R'| < |B|.</math>
したがって、<math>k+1</math> のときも定理の主張を満たす。
(i) (ii) より数学的帰納法から証明される。
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さて、長くなってしまったが、これで我々の必要としていた定理が導かれた。
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