「初等整数論/多項式」の版間の差分
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さて、多項式に関して[[初等整数論/整除性|整数の場合]]と同じように整除性について組み立てることができる。
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今から一般に変数が1つの多項式を扱う。多項式は <math>P(x)</math> で表す。何が変数なのか明らかな場合は <math>P</math> と省略して書く。
式が恒等式か方程式か明示するのは面倒なので、<math>P(x) \equiv Q(x)</math> という記号をもって、これが恒等式であることを表すことにする。また <math>P \not\equiv Q</math> は、ある <math>a</math> が存在して <math>P(a) \neq Q(a)</math> となることを意味する。▼
'''定義'''▼
<math>P(x) = Q(x)R(x)</math> という恒等式が成り立つとき、<math>P</math> は <math>Q, R</math> を'''因数に持つ'''、<math>P</math> は <math>Q, R</math> で'''割り切れる'''という。記号で <math>Q \, | \, P</math> と書くことにする。▼
▲式が恒等式か方程式か明示するのは面倒なので、<math>P(x) \equiv Q(x)</math> という記号をもって、これが恒等式であることを表すことにする。
さて、整数と同様の公理を満たすことを確認しなければならない。
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などである。これらは簡単に示すことができる。ここでは[[初等整数論/公理#乗法の公理|乗法の公理 5]] を多項式でも満たすことを示す。
その前にいくつか他の定理を準備する。
多項式の次数を <math>|A|</math> と表すこととする。（普通は <math>\deg A</math> と書くがここでは省略のためこう書くことにする）▼
'''定理 i''' <math>|A| > |B|</math> のとき、<math>|A+B| = |A|.</math>
<math>A = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0, \ B = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0 \ \ (a_n, b_m \, \neq 0)</math> とするとき、
<math>|A| > |B| \iff n > m</math> なので、
<math>A + B = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + (a_m+b_m)x^m + (a_{m-1}+b_{m-1})x^{m-1} + \cdots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0)</math>
よって <math>|A+B| = |A|.</math>
'''定理 ii''' <math>A(x) \neq 0, \ B(x) \neq 0</math> ならば、<math>|AB| = |A| + |B|.</math>
<math>B = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0 \ \ (b_m \neq 0)</math> とする。
<math>|A| = 0</math> のとき、すなわち <math>A(x) = a</math> のとき、
<math>AB = ab_mx^m + ab_{m-1}x^{m-1} + \cdots + ab_1x + ab_0</math> であり、また <math>ab_m \neq 0</math> より、<math>|AB| = |B| = |A| + |B|.</math>
次に <math>|A| < n</math> のとき正しいとする。
<math>A(x) = a_nx^n + a_{n-1}x_{n-1} + \cdots + a_1x + a_0, \ A'(x) = A(x) - a_nx^n \ \ \ (a_n \neq 0)</math> とする。
<math>AB = a_nx^nB + A'B.</math> このとき <math>|A'| < n</math> より <math>|A'B| = |A'| + |B| < n + m.</math>
<math>a_nx^nB = a_nb_mx^{n+m} + a_nb_{m-1}x^{n+m-1} + \cdots + a_nb_1x^{n+1} + b_0x^n, \ \ a_nb_m \neq 0</math> より、<math>|a_nx^nB| = n+m.</math>
したがって定理 i より、<math>|AB| = |a_nx^nB + A'B| = n+m.</math>
以上より累積帰納法より、正しいことが証明される。
さていよいよ次の定理を証明する。
'''定理 iii''' <math>A(x)C(x) \equiv B(x)C(x) \wedge C(x) \neq 0 \Rightarrow A(x) \equiv B(x).</math>
仮にある多項式において <math>A(x)C(x) \equiv B(x)C(x) \wedge C(x) \neq 0</math> であるのに <math>A(x) \not\equiv B(x)</math> であったとする。
このとき <math>A(a) \neq B(a)</math> となる数 <math>a</math> が存在する。ここで仮定より <math>A(a)C(a) = B(a)C(a)</math>
<math>\iff C(a)(A(a) - B(a)) = 0</math> となるが、<math>A(a) \neq B(a) \iff A(a) - B(a) \neq 0, \ C(a) \neq 0</math> より <math>C(a)(A(a) - B(a)) \neq 0</math> となり矛盾する。
よって定理は背理法によって証明される。
== 因数 ==
▲'''定義'''
▲<math>P(x) = Q(x)R(x)</math> という恒等式が成り立つとき、<math>P</math> は <math>Q, R</math> を'''因数に持つ'''、<math>P</math> は <math>Q, R</math> で'''割り切れる'''という。記号で <math>Q \, | \, P</math> と書くことにする。
====== 定理 1 ======
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====== 定理 2 ======
任意の多項式 <math>A, B \ (B(x) \not\equiv 0)</math> について、
<math>A = BQ + R</math> で、<math>R</math> の次数が <math>B</math> よりも小さいような組 <math>(Q, R)</math> がただ一つ存在する。
'''証明'''<br />
▲多項式の次数を <math>|A|</math> と表すこととする。（普通は <math>deg A</math> と書くがここでは省略のためこう書くことにする）
<math>|A| < |B|</math> のとき、
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特に <math>P(a) = 0</math> のとき、<math>P(x) = (x - a)Q(x)</math> と書ける。つまり、'''<math>P(x)</math> は <math>(x-a)</math> を因数に持つ'''。この定理は剰余の定理の特別な場合だが、重要であるため「因数定理」という名前が付いている。
<math>P(a) = 0</math> となる <math>a</math> のことを、多項式 <math>P</math> の零点という。このとき次の定理が簡単に導ける。
== 係数比較 ==
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さて、最大公約多項式を <math>M</math> とし、<math>D</math> を任意の公約多項式とおく。<math>L = lcm(M, D)</math> とする。
仮定より <math>A</math> は <math>M, D</math> の公倍多項式。よって、定理 3 より <math>A</math> は <math>L</math> を因数に持つ。どうようの理由で <math>B, \cdots</math> も <math>L</math> を因数に持つ。したがって <math>L</math> は <math>A, B, \cdots</math> の公約多項式。<math>M</math> は最大のものなので <math>|L| \leqq |M| \cdots (1).</math>
ところで <math>L</math> は <math>M</math> を因数に持つので <math>L = MK.</math>
定理 ii より <math>|L| = |M| + |K|.</math>
====== 定理 5 ======
零点を持たない多項式 <math>A, B</math> について <math>gcm(A, B) = G, \, lcm(A, B) = L</math> とすれば <math>AB = cGL.</math> （ただし <math>c</math> は適当な定数）
'''証明'''<br />
仮定より <math>L = A'B = AB'</math> とける。<math>AB</math> は公倍多項式なので、定理 3 より <math>AB = DL \cdots (1)</math> とおける。
<math>A, B</math> は零点を持たないので、先ほどの式を代入して <math>AB = DA'B = DAB' \Rightarrow A = DA', \, B = DB'.</math> よって、<math>D</math> は <math>A, B</math> の公約多項式。定理 4 より <math>G = DE </math> とおく。
<math>G \, | \, A, B \iff DE \, | \, A</math>
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