「解析学基礎/極限」の版間の差分
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==極限を求めるための道具==
=== 線形性 ===
<math>\lim_{x \rightarrow c} f(x), \ \lim_{x \rightarrow c} g(x)</math> が存在するとき、
* <math>\lim_{x \rightarrow c} f(x)g(x) = \lim_{x \rightarrow c} f(x) \cdot \lim_{x \rightarrow c} g(x)</math>
* <math>\lim_{x \rightarrow c} \{ f(x) + g(x) \} = \lim_{x \rightarrow c} f(x) \ + \ \lim_{x \rightarrow c} g(x)</math>
* <math>\lim_{x \rightarrow c} kf(x) = k \, \lim_{x \rightarrow c} f(x)</math>
* <math>\lim_{x \rightarrow c} g(x) \neq 0 \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) }{ \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x) }</math>
=== 線形性の証明 ===
仮定より、<math>\lim_{x \rightarrow c} f(x) = \alpha, \ \lim_{x \rightarrow c} g(x) = \beta</math> とおく。このとき、
<math>\epsilon > 0</math> を任意に取ってくる。<math>\frac{\epsilon}{2} > 0</math> より、極限の定義からある実数 <math>\delta_1, \delta_2</math> が存在して
<math>0 < |x - c| < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - \alpha| < \frac{\epsilon}{2}</math>
<math>0 < |x - c| < \delta_2 \Rightarrow |g(x) - \beta| < \frac{\epsilon}{2}</math>
絶対値を外せば、<math>- \frac{\epsilon}{2}< f(x) - \alpha < \frac{\epsilon}{2}, \ - \frac{\epsilon}{2} < g(x) - \beta < \frac{\epsilon}{2}</math>
したがって <math>-epsilon < f(x) + g(x) - (\alpha + \beta) < \epsilon \iff |\{ f(x) + g(x) \} - (\alpha + \beta)| < \epsilon</math>
ここで、<math>\delta = \min{ \delta_1, \delta_2 }</math> とおけば上の式が成り立つ。すなわちある実数 <math>\delta</math> が存在して任意の <math>\epsilon > 0</math> に対して <math>0 < |x - c| < \delta \Rightarrow |\{ f(x) + g(x) \} - (\alpha + \beta)| < \epsilon.</math>
すなわち2番目の式が証明されたのである。
===はさみうちの原理===
:<math>f(x) \le g(x) \le h(x) </math>
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