「高等学校数学III/極限」の版間の差分

:0<a<1のとき、<math>\lim_{x\to\infty}\log_ax=-\infty,\lim_{x\to+0}\log_ax=\infty</math>

 

:<math>\lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}=1</math>

 

 

== 演習問題 ==

 

 

== [コラム]よく有る疑問とその回答 ==

 

=== 極限値の実在 ===

<math>x</math>が限りなく無限大に近づいたとしても、<math>f(x)</math>は絶対にx軸とは交わらず、漸近的に近づいていくだけであるため、無限大であっても等号が成り立つはずは無いからである。

そこで、極限という概念で考えるのではなく、直接<math>f(x)</math>に無限大を代入した値を誤差として考える。

当然ながら、この誤差の大きさは、<math>1/\infty</math>という大きさになるのだが、この大きさは一体どのようなものだろうか？

 

 

ところでこの循環論法を避ける方法はこれだけではない。sin''x''及びcos''x''を''x''の非負整数乗の無限級数で定義する方法や、[[w:微分方程式]]を用いて定義する方法などが考えられるが、前者は少なくとも教科書に載せるには向かないし、後者はどう考えても高校範囲外である。ここで解説することはしないが、興味があれば次に示す参考文献を読んでみるといいかもしれない。

 

それにしてもこのコラムをここまで読み進めた君の好奇心は大したものである。君の成長を期待している。

 

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