「高等学校数学I/数と式」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
M →絶対値: 解答の修正(見やすい記法を上のほうに見つけたので再度修正) |
→実数: <math>の整理, 横に長く続く式での'='の前後に空白を追加, 根号を含む分数の分母の有理化について加筆, 問題と解答を整理 |
||
531 行
全ての循環小数は分数に直せる。<math>a = 0. \dot{3}</math>(1)と置くと、<math>10a = 3. \dot{3}</math>(2)である。(2)-(1)より<math>9a = 3</math>、よって<math>a = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}</math>である。
*(例1)<br/><math>\begin{align}
a &= 0. \dot{1} 4285 \dot{7}\\
1000000a &= 142857. \dot{1} 4285 \dot{7}\\
999999a &= 142857\\
a &= \frac{142857}{999999} \ = \frac{1}{7}
\end{align}
</math>
*(例2)<br/><math>\begin{align}
a &= 0.1 \dot{2} \dot{3}\\
100a &= 12.3 \dot{2} \dot{3}\\
99a &= 12.2\\
a &= \frac{12.2}{99} \ = \frac{61}{495}
\end{align}
</math>
==== 絶対値 ====
571 ⟶ 560行目:
たとえば
:<math>|2|=2</math>
:<math>| -3 | \ = \ -(-3) \ = \ 3</math>
である。
580 ⟶ 569行目:
|-
|style="padding:5px"|
|}
588 ⟶ 577行目:
:<math>\mathrm{P} \mathrm{Q} = |-1- \pi | = - (-1- \pi ) = \pi +1</math>
<br>
絶対値を含む方程式について考えよう。
絶対値<math>|x|</math>は、数直線上で、原点<math>\mathrm{O}</math>と点<math>\mathrm{P} (x)</math>の間の距離を表している。
したがって、<math>a>0</math>のとき <math>|x|=a \Leftrightarrow x= \pm a</math>
<br>
614 ⟶ 606行目:
今、2乗してaになる数bを考える。
<math>a=1</math>のとき、<math>b=1</math>として終わりにしてはいけない。確かに<math>b=1</math>も条件を満たすが<math>b=-1</math>も条件を満たす。よって<math>b= \pm 1</math>である。
一般に正の数aについてa=b<sup>2</sup>となるbは二つあり、その二つは絶対値が等しい。この二つのbをaの平方根という。aの平方根のうち、正であるものを<math>\sqrt{a}</math>、負であるものを<math>-\sqrt{a}</math>と書く。<math>\sqrt{a}</math>は『ルートa』と読む。
一方、負の数aについて考えてみても上手くbを見つけることはできない。実
{| style="border:2px solid green;width:80%" cellspacing=0
|style="background:green"|'''平方根'''
|-
|style="padding:5px"|
*'''正の数aの平方根は<math>\pm \sqrt{a}</math>である。'''
*'''負の数aの平方根は'''実数の範囲では'''存在しない。'''
|}
* 問題
<math>2\ ,\ 4\ ,\ 9\ ,\ 12</math>の平方根を求めよ。
*解答
<math>\pm \sqrt 2\ ,\ \pm 2\ ,\ \pm 3\ ,\ \pm 2\sqrt 3</math>
*解説
それぞれのルートを計算し、<math>\pm</math>をつければよい。ただし、平方根のルールに従って、簡単化できるものは簡単化することが要求される。
例えば、<math>2</math>に対しては、<math>\pm\sqrt 2 </math>となる。
一般に、<math>\sqrt{A^2} = |A|</math>である。
680 ⟶ 643行目:
*<math>\sqrt{k^2a} = k \sqrt{a}</math>
|}
計算せよ。
#<math>2 \sqrt{18} + \sqrt{50}</math>
*解答
#<math>\sqrt{8} \sqrt{14} \ = \ \sqrt{8 \times 14} \ = \ \sqrt{2^4 \times 7} \ = \ 2^2 \sqrt{7} \ = \ 4 \sqrt{7}</math>
#<math>2 \sqrt{18} + \sqrt{50} \ = \ 2 \times 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \ = \ (6+5) \sqrt{2} \ = \ 11 \sqrt{2}</math>
#まず、乗法公式 <math>(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2</math>を利用して展開する。詳細は「乗法公式」のセクションを参照のこと。<br/><math>\begin{align}
\left(\sqrt{3} - 2 \sqrt{6}\right)^2 \ = \ \left(\sqrt{3}\right)^2 -2 \times \sqrt{3} \times 2 \sqrt{6} + \left(2 \sqrt{6}\right)^2 \ = \ 3-4 \sqrt{18} + 24 \ = \ 27-4 \times 3 \sqrt{2} \ = \ 27-12 \sqrt{2}
\end{align}</math>
分母に根号を含まない式にすることを、分母を'''有理化'''するという。有理化は、分母と分子に同じ数をかけてもよいことを利用して行う。
たとえば、<math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math>を有理化すると、<math>\frac{1}{\sqrt{2}} \ = \ \frac{1 \sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} \ = \ \frac{\sqrt{2}}{2}</math>となる。
また、とくに<math>\frac{a}{b+c}</math>について、<math>b^2-c^2=1</math>のとき、<br/>
<math>\frac{a}{b+c} \ = \ \frac{a(b-c)}{(b+c)(b-c)} \ = \ \frac{a(b-c)}{b^2-c^2} \ = \ \frac{a(b-c)}{1} \ = \ a(b-c)</math>である。
たとえば、<math>a=1, b
*問題
分母を有理化せよ。
#<math>\frac{\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{3}} </math>
*解答
#<math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} \ = \ \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \ = \ \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \ = \ \frac{\sqrt{6}}{6}</math>
#<math>\frac{\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{3}} \ = \ \frac{(\sqrt{2} + 2 \sqrt{3})(3 \sqrt{2} + \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2} - \sqrt{3})(3 \sqrt{2} + \sqrt{3})} \ = \ \frac{6+ \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} +6}{(3 \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} \ = \ \frac{12 + 7 \sqrt{6}}{18-3} \ = \ \frac{12 + 7 \sqrt{6}}{15}</math>
====二重根号（発展）====
[[w:二重根号|二重根号]]とは、根号が2重になっている式のことである。二重根号は常に外せるわけではなく、根号の中に含まれる式によって簡単にできるかどうかが決まる。一般に、根号内の式が、<math>x^2</math>の形に変形できる場合には、外側の根号を外すことができる。
*問題
<math>\sqrt{3+2\sqrt 2}</math>を簡単にせよ。
*解答
<math>3+2\sqrt 2</math>が<math>( \cdots )^2</math>の形にできるかを考える。
仮に、<math>( \sqrt a + \sqrt b )^2</math>(a,bは正の整数)の形にできるとすると、<math>3+2\sqrt 2 = a + b + 2\sqrt{ab}</math>となり、<br/>
:<math>\begin{cases}
a+b &= 3\\
ab &= 2\\
\end{cases}</math><br/>
を満たす整数a,bを探せばよい。この関係は、a=1,b=2(a,bを入れ換えても可。)によって満たされるので、<math>3+2\sqrt 2 \ = \ (\sqrt 2 + 1)^2</math>が成り立つ。
よって、<math>\sqrt{3+2\sqrt 2} \ = \ \sqrt{(\sqrt 2 + 1)^2} \ = \ \sqrt 2 + 1</math>となる。
{| style="border:2px solid green;width:80%" cellspacing=0
756 ⟶ 701行目:
:<math>\sqrt{(a+b) -2 \sqrt {ab}}= \sqrt {a} - \sqrt {b}</math>
|}
次の式を計算せよ。
#<math>\sqrt{12-6 \sqrt {3}}</math>
*解答
#<math>\sqrt{3+ \sqrt {5}} \ = \ \sqrt{\frac{6+ 2 \sqrt {5}}{2}} \ = \ \frac{\sqrt{(5+1) +2 \sqrt {5 \times 1}}}{\sqrt{2}} \ = \ \frac{\sqrt {5} + \sqrt {1}}{\sqrt {2}} \ = \ \frac{\sqrt {10} + \sqrt {2}}{2}</math>
==一次不等式==
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