「初等整数論/原始根と指数」の版間の差分
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初等整数論/合同の応用 oldid=108741 2016年12月6日 (火) 07:46 by Polgoe, 主執筆者 Angol Mois から分割 |
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ところで、<math>2^{\frac{20}{5}} = 2^4</math> の位数は 5 である。<math>(2^4, 3) = 1</math> なので上記の証明の (i) の場合に対応する。したがって、<math>2^4 \cdot 3 = 48 \equiv 7</math> の位数は <math>5 \cdot 8 = 40</math> である。すなわち原始根が見つかったのである。
'''問''' 43 の原始根を求めよ。▼
41 までの素数を法とする原始根は次のとおりである。
このように、与えられた法に対して原始根が存在することは初等的に示される。しかし、逆に与えられた数を原始根に持つ法が存在するか否かは明らかではない。累乗数が原子根たりえないことは明らかだが、それ以外の数については明らかではない。たとえば、累乗数ではない、どのような数についても、それを原始根に持つ法が無数に存在するか否かは未だに解決されていない。▼
{| class="wikitable" style="text-align:left" cellpadding="1"
|+ 素数 <math>p</math> を法とする原始根
|-
! ''p''
! width="500" | 原始根
|-
| 3 || 2
|-
| 5 || 2, 3
|-
| 7 || 3, 5, 6
|-
| 11 || 2, 6, 7, 8
|-
| 13 || 2, 6, 7, 11
|-
| 17 || 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14
|-
| 19 || 2, 3, 10, 13, 14, 15
|-
| 23 || 5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21
|-
| 29 || 2, 3, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 21, 26, 27
|-
| 31 || 3, 11, 12, 13, 17, 21, 22, 24
|-
| 37 || 2, 5, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 32, 35
|-
| 41 || 6, 7, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 34, 35
|}
41 のように、最小原始根が素数ではない場合もある。
▲このように、与えられた法に対して原始根が存在することは初等的に示される。しかし、逆に与えられた数を原始根に持つ法が存在するか否かは明らかではない。累乗数が原
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