「初等整数論/べき剰余」の版間の差分

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M 相互法則の使用例
196 行
 
最後に相互法則であるが、[[初等整数論/平方剰余の相互法則の証明]]に譲る。
 
'''例 1''' <math>\left(\frac{31}{103}\right)</math> を求めよ。
 
相互法則より
 
<math>\left(\frac{31}{103}\right)=(-1)^{15\cdot 51} \left(\frac{103}{31}\right)=-\left(\frac{10}{31}\right)=-\left(\frac{2}{31}\right)\left(\frac{5}{31}\right)</math>
 
となる。ここで、第二補充法則と相互法則を用いて
 
<math>\left(\frac{2}{31}\right)=1, \left(\frac{5}{31}\right)=\left(\frac{31}{5}\right)=\left(\frac{1}{5}\right)=1</math>
 
を得るから
 
<math>\left(\frac{31}{103}\right)=-1</math>
 
とわかる。
 
'''例 2''' <math>p</math> が奇素数のとき
 
<math>\left(\frac{5}{p}\right) = \left(\frac{p}{5}\right) =
\begin{cases} 1 (p\equiv 1, 4\pmod{5}), \\ -1 (p\equiv 2, 3\pmod{5}) \end{cases}</math>
 
が成り立つ。
 
{{DEFAULTSORT:しよとうせいすうろん へきしようよ}}