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量子化学/スピン で行った修正内容をフィードバック。また、図を追加。不均一な磁場での電子スピンの受ける磁力 についての模式図。
→‎双極子のもつエネルギーと力: 修正。いくつかマチガイがあったので。
898 行
== 双極子のもつエネルギーと力 ==
* 双極子の受ける力
[[File:Stern-Gerlach experiment svg.svg|thumb|500px|シュテルン＝ゲルラッハの実験]]<br>
<br>4は古典物理的な予想値（じっさいの実験結果ではない）。<br>じっさいの実験結果は、5のように、原子線は、上下の2つの位置に分かれる。けっして、4のように、そのあいだの中間の位置には、ほぼ原子線は当たらない。<br>この5のように、原子線は上下2つに分裂する。]]
 
通常の棒磁石を、電子に近づけても、電子の磁気モーメントが小さいので、ローレンツ力以外の力は電子はほとんど受けないのだが、磁石が通常でない場合は別である。
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図のように、磁石によって、不連続で急峻な磁場が発生するとき、電子の上側と下側とで、磁場の強さが異なる。そのため、電子全体としては、力を受けることになる。（なお、前提として、電子には「スピン」という磁極のような性質がある、という事を前提にしている。）
 
N極の先端のとがったかたちをした棒磁石と、Ｓ極の先端のくぼんだ棒磁石を用意して、とがった、N極と、くぼんだＳ極の軸を一致させ、この2つの磁極の間隔をせまくした不対磁極をつくる。この不対磁極のすきまに電、銀を熱して蒸発させて細孔などから飛び出させた銀の原子線を打ち込むと、こ図の磁極の隙間ように、上またはＨ下の変化率がどちらかなり大きいので、ローレンツ力以外を受け、上下のちから2箇所に分裂する。けっして、Ｆななめ方向には移動しない。これは、原子線そのものが磁化を感じ取もっていることがの実験的証明できある。
 
（銀の原子は中性のハズである。また、仮に電離していて電荷をもっていたとしてローレンツ力を受けたとすると、ローレンツ力の方向は、図中の横向き（つまり紙面の奥方向または手前に向う方向）になるハズであるが、しかし、そのような実験結果は起きていない。よって、銀の原子線は中性である。）
このような実験を'''シュテルン・ゲルラッハの実験'''という。
 
このような実験を'''シュテルン・ゲルラッハの実験'''という。銀以外にも、水素の原子線やナトリウム原子線でも同様の実験が行われ、原子線が上方向または下方向のどちらかの力を受けることが確認された。
 
このように原子線が上下に分裂する理由は、原子線が磁化をもっている事のあらわれであるが、その原子の磁化の由来は、そもそも電子が物性として磁気をもっているからである。そして、電子そのものの磁気のことを'''スピン'''という。
実際に、このような実験をすると、電子は図のように、上向きか下向きかのどちらか片方にだけ移動する。ななめ方向には移動しない。
 
原子線の標的になっている場所を見ると（図の「5」の場所）、原子線が上または下の2通りの位置に分裂して当たっていることから、電子の「スピン」も2通りの値であることが予想され、他の物理理論から、電子の「スピン」が実際に2通りである事が分かっている。
 
量子力学の入門書では、この事から、電子の「スピン」の状態が、外部磁場に対して「上向き」か「下向き」かの2通りしか取りようのない離散的な事が、説明されるのだが、では、なぜ、あの実験事実で、このような離散性が証明されるのかを、下記にきちんと説明しよう。
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:<math>F=-m H|_{y=y_0} \cos \theta</math>
となる。
 
なお式中のmは磁極の大きさの値とする。問題の簡単化のため、m＞0としよう（m＜0な場合は（負の大きさの磁極の場合）、θ＝180度として対応することにしよう）。
 
いっぽう、電子上部に掛かる力は、
938 ⟶ 944行目:
 
 
そして、実験事実は明らかに、θが離散化により2通りの状態を取ること示してい考えるべきだろう。θ=0またHは θ=π を取ることを外部磁場の大きさであり、実験結果2通りには示して、なりようにないる。
 
このようにして、電気磁気学の公式と、シュテルン＝ゲルラッハの実験結果にもとづき、スピンの離散化を導出できる。▼
 
（※ なお、この導出方法は、たしか裳華房の物理学叢書の電磁気学の巻に書いてある（量子力学の巻ではない）。べつにwikibooksオリジナルの解法ではない。）▼
 
 
* 結論
やや飛躍があるが、上述のような現象の起きる根本原理として、原子や電子などといった量子スケール的な現象では、エネルギーが量子化されると考えれば、ツジツマが合う。
 
 
中学理科でも習うように、力Fを距離yをかけ算すれば、仕事である。
なので、さきほどの式の力Fも、積分すれば、仕事 W になる。
 
:<math>W=F \times y = m H|_{y=y_0} \Delta y \cos \theta</math>
 
この力Fが、実験事実により、上向きと下向きのどちらかに離散化されるのだから、ならば仕事も必然的に離散化されるはずであり、ならばエネルギーも必然的に離散化されるはずである。
 
計算により、確認してみよう。
力学の理論により、一般にポテンシャルＵ をつくる力Ｆ は、y方向の力をFyとすれば
:<math>F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} </math>
 
である。
 
シュテルンゲルラッハの実験結果により、ほぼy方向にしか力が作用してないので、よって、 F＝Fy なので、よって、
 
:<math>F=m(H|_{y=y_0+\Delta y} - m H|_{y=y_0} ) \cos \theta = -\frac{\partial U}{\partial y} </math>
 
上式をyで積分すれば、
 
:<math>W=F \Delta y=m H|_{y=y_0} \cos \theta \Delta y = -\frac{\partial U}{\partial y} \Delta y = -\Delta U </math>
 
われわれが興味あるのは、Uが離散化するかどうかなので、上式をUについて、まとめれば、
よって、
:<math>\Delta U = - m H|_{y=y_0} \cos \theta \Delta y </math>
である。
 
cos θが±1に離散化するので、必然的に、ΔUも離散化する。
 
mは、われわれの考察では m＞0 と仮定してしまったので（m＜0の場合はθ＝180度として解釈するという仮定であった）、なので、θ=0または θ=π を取ると考えるのが、妥当である。
 
なお、磁気双極子モーメントmが磁場Hの中で、双極子のもつエネルギーは、
:U = －m･H ＝ －mHcosθ
:－1≦ cosθ ≦＋1 なので、
:Ｕmax ＝ mH 、Umin ＝ －mH
:よって、Ｕmax － Umin ＝ mH－（－mH）＝ 2mH ＝ 2q<sub>m</sub>d・H
であるので、双極子が貯めることのできるエネルギーは2mHである。
 
さて、エネルギー U が離散化されるためには、mかHかθのどれかが、離散化されていなければならない。スピンでは、θが±1に離散化されることにより（「上向き」、「下向き」などのように）、エネルギーUが離散化されたものと思える。
 
▲このようにして、電気磁気学の公式と、シュテルン＝ゲルラッハの実験結果にもとづき、スピンが2通りの離散化によって原子線が上下2方向に分裂することを導出解析的に説明できる。
 
▲（※ なお、この導出方法は、たしか裳華房の物理学叢書の電磁気学の巻や、『初等量子力学』などに書いてある（量子力学の巻ではない）。べつにwikibooksオリジナルの解法ではない。）
このシュテルン＝ゲルラッハの実験の実験結果からも、スピンが2通りの状態量（「上向き」と「下向き」をもつ事が分かる。）しかも、「スピン」の存在さえ認めてしまえば、それらの古典物理の「モーメント」や「ポテンシャル」といった理論からも、上述のように力学的な計算が可能である。
 
（※ ただし、これらの書籍の解法では、解法の順序が先に不均一磁場中の磁気モーメントに働く力を求めていたりして、あとからスピンを導入しており、そのため、スピンが不均一磁場でどういう力を受ける解析結果になるかの説明が省略されており、あまり細かく書かれていない。）
 
== 量子論の基礎法則：スピンを例にとって ==
"https://ja.wikibooks.org/wiki/量子力学" より作成