「高等学校数学III/微分法」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
33 行
が示せた。
====関数<math> y= x^n</math>の導関数====
:<math>
\frac{d}{dx}x^n =\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \qquad (1)
</math>
ここで、2項定理により
:<math>
(x+h)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}C_{k}x^{n-k}h^k ,\quad {}_{n}C_{0} = 1
</math>
なので、
:<math>
(x+h)^n = x^n + {}_{n}C_{1}x^{n-1}h + \sum_{k=2}^{n} {}_{n}C_{k}x^{n-k}h^k
</math>
この式を、式（１）の右辺に代入すると
:<math>
\frac{d}{dx}x^n =\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} =\lim_{h\to 0}({}_{n}C_{1}x^{n-1} + \sum_{k=2}^{n} {}_{n}C_{k}x^{n-k}h^{k-1}) = {}_{n}C_{1}x^{n-1}
</math>
ここで、
:<math>
{}_{n}C_{1} = n
</math>
なので、
:<math>
\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}
</math>
=== 関数の和、差、積、商の導関数 ===
| |||