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「高等学校数学III/微分法」の版間の差分

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→‎関数の導関数: 証明のbrush upなど。\triangleqは高校生にはなじみがないので使わない方がいいのでは。
7 行
ここでは、[[高等学校数学II]]で学んだ微分の性質についてより詳しく扱う。特に、関数の和、差、積、商、更に合成関数や、逆関数の導関数について詳しく扱う。また、三角関数などの複雑な関数の微分についてもここでまとめる。
=== 関数の導関数 ===
関数<math>f(x)</math>が任意の点''x''で極限値
:<math>
f'(x) \triangleq:= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
</math>
を持つとき、関数<math>f(x)</math>は微分可能と言い、関数''f''' を、関数ｆ''f''の導関数と呼ぶ。
 
==== 微分可能な関数は連続関数====
関数<math>f(x)</math>が微分可能ならば、連続関数である。
 
:（証明）
:任意のｘにおいて、
''f''が微分可能なのでとすると、▼
:<math>
\lim_{h\to 0}(f(x+h)-f(x)) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}h =\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\lim_{h\to 0}h = f'(x)\times 0 = 0
</math>
なので、''f''は連続である。//
であることを示せばよい。
 
:<math>
\lim_{h\to 0}(f(x+h)-f(x)) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}h
</math>
▲fが微分可能なので
:<math>
=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\lim_{h\to 0}h = f'(x)\times 0 = 0
</math>
故に
:<math>
\lim_{h\to 0}(f(x+h)-f(x)) = 0
</math>
が示せた。
====<math> y= x^n</math>の導関数====
:<math>
37 ⟶ 28行目:
</math>
である。
 
:（導出）
:<math>
\frac{d}{dx}x^n =\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \qquad (1)
</math>
ここで、2二項定理により
:<math>
(x+h)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}C_{k}x^{n-k}h^k
</math>
ただし
:<math>
{}_{n}C_{k} \triangleq:= \frac{n!}{(n-k)!k!} \qquad
0!\triangleq := 1
</math>
なので、
:<math>
(x+h)^n = x^n + {}_{n}C_{1}xnx^{n-1}h + \sum_{k=2}^{n} {}_{n}C_{k}x^{n-k}h^k
</math>
この式を、式（１）の右辺に代入すると
:<math>\frac{d}{dx}x^n = \lim_{h\to 0}({}_{n}C_{1}xnx^{n-1} + \sum_{k=2}^{n} {}_{n}C_{k}x^{n-k}h^{k-1}) = {}_{n}C_{1}xnx^{n-1} </math>▼
:<math>
である。//
▲\frac{d}{dx}x^n = \lim_{h\to 0}({}_{n}C_{1}x^{n-1} + \sum_{k=2}^{n} {}_{n}C_{k}x^{n-k}h^{k-1}) = {}_{n}C_{1}x^{n-1}
</math>
ここで、
:<math>
{}_{n}C_{1} = n
</math>
なので、
:<math>
\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}
</math>
 
=== 関数の和、差、積、商の導関数 ===
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