「線型代数学/ベクトル」の版間の差分

:(※ 補足: ) 線形代数でいう「空間」や「次元」の定義は、物理学でいう「空間」や「次元」とは、内容が異なる。もし、たまたま似た内容が数学と物理の「次元」にあったとしても、数
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(:(※ 補足: ) 線形代数でいう「空間」や「次元」の定義は、物理学でいう「空間」や「次元」とは、内容が異なる。もし、たまたま似た内容が数学と物理の「次元」にあったとしても、数)
<math>\bold K = \R</math>のとき<math>\R^n</math>は実数を成分とするn次列ベクトル全体の集合であり、<math>\bold K = \C</math>のとき<math>\C^n</math>は複素数を成分とするn次列ベクトル全体の集合である。
 
 
===相等関係===
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:(※ 補足: ) 線形代数でいう「空間」や「次元」の定義は、物理学でいう「空間」や「次元」とは、内容が異なる。もし、たまたま似た内容が数学と物理の「次元」にあったとしても、数学と物理の「次元」はそれぞれ、独自の定義を持つ。物理学では、われわれの住んでる「空間」は3次元であり、時間も含めて「4次元時空」などという場合もある。しかし線形代数の「4次元ベクトル」は、単に、成分の数が4個のベクトルである。線形代数の「4次元ベクトル」には、まったく「時間」の意味は無い。
:数学史では、過去の中世や近世では物理学など理科の法則を参考に、数学の理論を構築していた時代もあったし、そのため中世ごろには考える空間の次元が3次元までだったり、(xの3乗のように)式の次数が3次元までの時代もあった。また、近代でも、そもそもベクトルの理論構築に物理学者ギブスなどが貢献してる。しかし現代の大学教養課程の線形代数の「ベクトル」は、物理学の空間や時間とは無関係である。物理学でも「ベクトル」や「行列」を用いるが、数学と物理学で、それぞれ独自の定義を持っているので、もし物理学の「ベクトル」や「行列」の定義を確認たいなら、「物理数学」などの教科の教科書を参考にせよ。
:物理学にかぎらず、経済学など他の学問でも「ベクトル」や「行列」を用いる場合もあるが、やはり数学とは別個にそれぞれの(経済学などの)学問で、用語は教科ごとにそれぞれ独自の定義を持っているので、学生はそれぞれの教科の教科書を参考にする必要がある。
:大学の教育およびそれ以上の教育課程では、高校までと違って、別々の教科間をまたいで用語の定義などの統一作業は、大学の教育では、していないのが通常である。
 
 
=== 相等関係 ===
{{定義|0.1.4}}
2つのn次列ベクトル<math>\bold a, \bold b \in \bold K^n</math>が「等しい」とは、2つのベクトルの各成分が全て等しいことをいう。すなわち、
{{定理終わり}}
 
== 助変数表示 ==
 
=== 平面上の直線 ===
 
以後、特に空間ベクトルについて議論する。
\end{pmatrix}</math>
 
=== 空間内の直線 ===
平面内の直線は
:<math>ax+by+c=0</math>
を助変数表示にせよ
 
=== 空間内の平面 ===
 
前述のとおり、空間内の平面はax+by+cz=dであらわせる。今度は2つの助変数s,tを導入することで、同様にして
を、直交座標表示で表せ。
 
=== まとめ ===
 
1. 平面上の直線のベクトル表示
 
:<math>\mathbf{x}=\mathbf{a}t+\mathbf{x}_0</math>
 
2. 空間内の直線のベクトル表示
 
:<math>\mathbf{x}=\mathbf{a}t+\mathbf{x}_0</math>
 
3. 空間内の平面のベクトル表示
 
:<math>\mathbf{x}=\mathbf{a}t+\mathbf{b}s+\mathbf{c}</math>
と表される。これを証明せよ。
 
== 法線ベクトル ==
平面上の直線
:ax+by=c
:の交角を求めよ。
 
== 外積 ==
 
=== 二次の行列式 ===
 
定義(7.1)
これを証明せよ。
 
=== 外積 ===
 
内積が有るなら外積もあるのでは?と思った読者待望の部ではないだろうか。(余談)
'''c'''は次の4条件を満たすとき、'''a''','''b'''の外積(exterior product)、あるいはベクトル積(vector product)と呼ばれ,'''a'''×'''b'''='''c'''と表記される。
 
 (i) '''a''','''b'''と直交する。
 
 (ii) '''a''','''b'''は線形独立
 
 (iii) '''a''','''b''','''c'''は右手系をなす。
 
 (iv) ||'''c'''||が平行四辺形の面積
 
ここで、右手系とは、R<sup>3</sup>の単位ベクトル'''e'''<sub>1〜3</sub>が各々右手の親指、人差指、中指の上にある三次元座標系のことである。
'''a<sub>1</sub>'''×'''b'''+'''a<sub>2</sub>''''''b'''
 
=== 三次の行列式 ===
 
定義(7.4)
このページで述べるベクトルの代数学的説明はここまでである。このまま、代数学の学習を続けたい読者は次に、[[行列]]を読まれる事を勧める。今までの内容と、密接に関係している。もし、ベクトルの解析的扱いについて学習したい場合は、このページの次の章に進まれるとよい。参考文献:東京大学出版会 『基礎数学1 線型代数入門』齊藤正彦著
 
== ベクトル関数 ==
 
[[Category:線形代数学|へくとる]]
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