「写像，演算」の版間の差分
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(iii) <math>g \circ f</math> が一対一ならば <math>f</math> も一対一である
<ref>
<math>f</math> が一対一（単射）でなければ <math>g \circ f</math> は一対一でない．
</ref>．
(iv) <math>g \circ f</math> が全射的ならば <math>g</math> も全射的である．
<ref>
<math>g</math> が全射的でなければ <math>g \circ f</math> は全射的でない．
</ref>．
63 ⟶ 65行目:
<math>a \in A</math> に対して <math>a \in X</math> である <math>X \in \mathfrak{U}</math> がただ一つ定まる．
この <math>X</math> を <math>p(a)</math> とおけば <math>p</math> は <math>A</math> から <math>\mathfrak{U}</math> の上への写像となる．この <math>p</math> を類別 <math>\mathfrak{U}</math> への'''標準射影'''という．
<math>f</math> が集合 <math>A</math> から <math>B</math> への写像のとき，<math>A</math> の二元
<math>a, a'</math> に対して <math>f(a) = f(a')</math> のとき <math>a \sim a'</math> と定義すれば
<math>\sim</math> は <math>A</math> 上の同値関係となる．
これによる類別を <math>\mathfrak{U}</math> とすれば各 <math>X \in \mathfrak{U}</math> に対して
<math>b \in B</math> が定まり，<math>a \in X</math> ならば <math>f(a)=b</math> である．
この <math>b</math> を <math>q(X)</math> とおけば <math>q</math> は <math>\mathfrak{U}</math> から
<math>B</math> の写像で，これは一対一である．
また <math>p : A \to \mathfrak{U}</math> は <math>\mathfrak{U}</math> への標準写像とすれば
<math>f = q \circ p</math>．
この対 <math>(p, q)</math> を <math>f</math> の'''右標準全単分解'''という．
<strong>4.4 </strong>
<math>X</math> が集合 <math>B</math> の部分集合のとき、各 <math>x \in X</math> に対して
<math>i(x) = x</math> とおけば <math>i</math> は <math>X</math> から <math>B</math> への写像となり，
これは一対一である．この <math>i</math> を <math>X</math> の <math>B</math> への'''理蔵'''または'''標準射入'''という．
さらに <math>g:B \to C</math> のとき，合成 <math>g \circ i</math> を <math>g</math> の <math>X</math>
への制限といい，<math>g{\restriction_X}</math> で表す．また <math>h = g{\restriction_X}</math>
に対して <math>g</math> を <math>h</math> の'''拡張'''という．
== officious ==
<references />
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