「写像,演算」の版間の差分

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への制限といい,<math>g{\restriction_X}</math> で表す.また <math>h = g{\restriction_X}</math>
に対して <math>g</math> を <math>h</math> の'''拡張'''という.
 
特に <math>X=B</math> のとき,<math>B</math> の <math>B</math> への埋蔵を <math>B</math>
上の'''恒等写像'''といい,<math>1_B</math> で表す.任意の <math>f:A \to B, g:B \to A</math>
に対して <math>1_B \circ f = f, g \circ 1_B = g</math> である.また <math>g \circ f = 1_A</math>
のとき <math>g</math> は <math>f</math> の'''左逆写像''',<math>f</math> は <math>g</math> の'''右逆写像'''といい,
さらに <math>f \circ g = 1_B</math> ならば <math>f</math> と <math>g</math> とは互いに他の'''逆写像'''という.
このとき <math>f</math> は <math>A</math> と <math>B</math> との間の一対一対応となる.逆に <math>f</math>
が一対一写像ならば <math>f</math> は逆写像 <math>g</math> を持つ.これを <math>f^{-1}</math> で表す.
 
任意の写像 <math>f:A \to B</math> に対して <math>f</math> の像を <math>X</math> とし,
<math>s(a) = f(a)</math> で <math>s:A \to X</math> を定義すれば <math>s</math> は <math>X</math>
の上への写像である.さらに <math>r:X \to B</math> を埋蔵とすれば <math>f = r \circ s</math>.
この対 <math>(s, r)</math> を <math>f</math> の左標準全単分解という.さらに <math>(p, q)</math>
が <math>s</math> の右標準全単分解ならば <math>f = r \circ q \circ p</math> で <math>q</math>
は一対一対応である.この三つ組 <math>(p, q, r)</math> を <math>f</math> の'''両標準全単分解'''という.
 
<strong>4.5 </strong>
<math>\mathfrak{V} = \{ A_{\lambda} | \lambda \in \Lambda \}</math> を集合の族とし,<math>A=\bigcup \mathfrak{V}</math>
とする.写像 <math>\varphi : \Lambda \to A</math> ですべての <math>\lambda \in \Lambda</math>
について <math>\varphi(\lambda) \in A_{\lambda}</math> となるようなものを集合族 <math>\mathfrak{V}</math>
上の'''選択関数'''という.
<math>\mathfrak{V}</math> 上の選択関数全体の集合を <math>\mathfrak{V}</math> の直積といい,
<math>\prod \mathfrak{V}</math>,または <math>\prod_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}</math> で表す.
各 <math>A_{\lambda} \in \mathfrak{V}</math> はこの直積の'''成分'''という.また写像
<math> \pi_{\lambda} : \prod \mathfrak{V} \to A_{\lambda}</math> で,各 <math>\varphi \in \prod \mathfrak{V}</math>
における値 <math>\pi_{\lambda}(\varphi)</math> が <math>\varphi(\lambda)</math> であるものを直積の
<math>A_{\lambda}</math> 成分への'''標準射影'''という.