「圏論/代数系/古典的代数系」の版間の差分
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<div id="1.1">
<strong>1.1</strong>
集合 <math>G</math> の元 <math>a,b</math> の各対に対して G の第三の元（これを <math>ab</math> で表す)を対応させる演算が定義され, それが
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演算が[[圏論/代数系/古典的代数系#結合的|結合的]]のときは上記の式の両辺は括弧を省略して単に <math>abc</math> と表してもよい. さらにこの演算が
<div id="可換律">
;'''可換律'''
:すべての元 <math>a, b</math> に対して <math>ab=ba</math>
<div id="可換">
をみたすとき, この演算, または[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> は'''可換'''であるという.
<div id="1.2">
<div id="単位元">
半群 <math>G</math> の元 <math>e</math> で <math>G</math> のすべての元 <math>a</math> に対して▼
<strong>1.2</strong>
▲[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> の元 <math>e</math> で <math>G</math> のすべての元 <math>a</math> に対して
<math>ae=ea=a</math> となるものをこの演算, または <math>G</math> の'''単位元'''という.
<math>e</math> と <math>e'</math> が共に[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]ならば <math>e=ee'=e'</math>であるから, [[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]は存在すればただ一つである.<ref><small>
[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]の定義 <math>ae=ea=a</math> にて <math>a=e'</math> を代入して<br />
<math>e'e=ee'=e'</math><br />
<math>e'</math> も[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]であるから <math>ae'=e'a=a</math><br />
これに <math>a=e</math> を代入して<br />
<math>ee'=e'e=e</math><br />
以上2式より <math>e' = e'e = ee' = e</math> すなわち <math>e=e'</math> </small></ref>
<div id="逆元">
[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]] <math>e</math> を持つ[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> において, <math>G</math> の元 <math>a</math> に対して <math>ab=ba=e</math>
となるような元 <math>b</math> が存在すればこれを <math>a</math> の'''逆元'''という.
このとき <math>a</math> はまた <math>b</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]となる.
<math>b</math> と <math>b'</math> が共に <math>a</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]のとき
<math>b=b(ab')=(ba)b'=b'</math><ref>
<small>
なんとなれば<math>ab'=e, ba=e</math>
</small></ref>
であるから <math>a</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]は存在すればただ一つである.
<div id="群">
[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> が[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]を持ち, また <math>G</math> のすべての元が[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]を持つとき <math>G</math> は'''群'''であるという.<ref><small>
[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]の公理に要請する条件としては <math>ae=a</math> かつ <math>aa^{-1}=e</math> で十分である．<br />
<math>ae</math> を <math>aa^{-1}=e</math> の <math>a</math> に代入して, <math>ae(ae)^{-1}=e</math>
<math>ae = a</math> より
<math>aea^{-1}=e</math>
<math>a(ea^{-1})=e</math>
これと <math>aa^{-1}=e</math> の辺々を比べて <math>ea^{-1}=a^{-1}</math><br /> すなわち <math>ea=a</math> と単位元の公式の残り半分が導出される．<br />
また，<math>aa^{-1}=e</math> を <math>ae=a</math> に代入して <math> aa^{-1}e = e</math> a を右からかけて <math>aa^{-1}ea = ea</math> これと <math>ae=a</math> の辺々を比べて <math>a^{-1}a=e</math><br /> と逆元の公式の残り半分が導出される． </small></ref>
<div id="可換群">
群の演算が可換であるとき <math>G</math> は'''可換群''', または'''アーベル群'''という.▼
<div id="アーベル群">
▲[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]の演算が[[圏論/代数系/古典的代数系#可換|可換]]であるとき <math>G</math> は'''可換群''', または'''アーベル群'''という.
<div id="1.3">
<strong>1.3</strong>
一般に <math>G</math> が演算を持つ集合で <math>X</math> がその部分集合のとき,
<math>X</math> のすべての元 <math>a, b</math> について <math>ab\in X</math> ならば,
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