「圏論/代数系/古典的代数系」の版間の差分

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<math>aea^{-1}=e</math><br />
<math>a(ea^{-1})=e</math><br />
これと <math>aa^{-1}=e</math> の辺々を比べて <math>ea^{-1}=a^{-1}</math><br /> すなわち <math>ea=a</math> と[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]の公式の残り半分が導出される.<br />
また,<math>aa^{-1}=e</math> を <math>ae=a</math> に代入して <math> aa^{-1}e = e</math><br />
a を右からかけて <math>aa^{-1}ea = ea</math><br />
先に導出した <math>ea = a</math> より <math>a(a^{-1}a)=a</math><br />
これと <math>ae=a</math> の辺々を比べて <math>a^{-1}a=e</math><br />
[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]の公式の残り半分が導出される.
</small></ref>
 
 
<div id="1.3">
<div id="閉じている">
<div id="部分半群">
<div id="部分群">
<strong>1.3</strong>
一般に <math>G</math> が演算を持つ集合で <math>X</math> がその部分集合のとき,
<math>X</math> のすべての元 <math>a, b</math> について <math>ab\in X</math> ならば,
<math>X</math> はこの演算について'''閉じている'''という.
特に <math>G</math> が[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]]のとき <math>X</math> は <math>G</math> の'''部分半群'''という.
 
<math>G</math> が[[圏論/代数系/古典的代数系#群|]], <math>X</math> がその空でない部分集合で, <math>X</math> が <math>G</math> の演算で[[圏論/代数系/古典的代数系#閉じている|閉じ]],
また <math>X</math> の各元の[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]もまた <math>X</math> に入っているとき(したがって <math>G</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]] <math>e</math> も<math>X</math>に入る<ref>
<small>
<math>ab=e</math>, <math>a\in X, b\in X</math> において、 <math>X</math> が <math>G</math> の演算で閉じているのだから <math>ab=e\in G</math>
</small></ref>
),
<math>X</math> は <math>G</math> の'''部分群'''という. [[圏論/代数系/古典的代数系#部分群|部分群]]はそれ自身ももとと同じ演算で[[圏論/代数系/古典的代数系#群|]]となっている.
 
 
<div id="1.4">
<strong>1.4</strong>
例えば実数の集合 <math>R</math> はその上の加法という演算について[[圏論/代数系/古典的代数系#可換群|可換群]]である。
有理数の集合 <math>Q</math>, 整数の集合<math>Z</math> はその部分群, <math>Z</math> はまた <math>Q</math> の部分群でもある.
<math>R</math> は乗法については半群ではあるが群ではない. <ref>
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