「圏論/代数系/古典的代数系」の版間の差分
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また <math>X</math> の各元の[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]もまた <math>X</math> に入っているとき(従って <math>G</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]] <math>e</math> も<math>X</math>に入る<ref>
<small>
<math>ab=e</math>, <math>a\in X, b\in X</math> において、 <math>X</math> が <math>G</math> の演算で[[圏論/代数系/古典的代数系#閉じている|閉じている]]のだから <math>ab=e\in G</math>
</small></ref>
),
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<strong>1.4</strong>
例えば実数の集合 <math>R</math> はその上の加法という演算について[[圏論/代数系/古典的代数系#可換群|可換群]]である。
有理数の集合 <math>Q</math>, 整数の集合<math>Z</math> はその[[圏論/代数系/古典的代数系#部分群|部分群]], <math>Z</math> はまた <math>Q</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#部分群|部分群]]でもある.
<math>R</math> は乗法については[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]]ではあるが[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]ではない. <ref>
<small>
<math>0</math> を含むと <math>0</math> の乗法についての[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]は存在せず、乗法に関する[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]を仮に <math>1</math> としても乗法に関して <math>0</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]は存在しない．これはすぐに後述される．</small></ref>
しかし<math>R</math> から <math>0</math> を除いた <math>R-\left\{0\right\}</math> は乗法について[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]となる。
正の実数の集合 <math>R^+</math> はその[[圏論/代数系/古典的代数系#部分群|部分群]]である。<math>Q-\left\{0\right\}</math> および <math>Q^+=Q\cup R^+</math><ref>
<small>
「<math>Q^+</math>を正の有理数の集合」としてもよいが，すでに定義している<math>R^+</math> を使用して定義したまでのこと．</small></ref>
は乗法についてまた <math>R-\left\{0\right\}</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#部分群|部分群]]である．<math>Z^+=Z\cup R^+</math> は <math>R</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#部分半群|部分半群]]であるが[[圏論/代数系/古典的代数系#部分群|部分群]]ではない<ref>
<small>
[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]が整数に収まらない．</small></ref>．
[[圏論/代数系/古典的代数系#可換|可換]]でない[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]]の例として n 次の正方行列全体の集合がある．<ref>
<small>
行列 <math>A</math> の行列式が <math>0</math> であれば，<math>A</math> は逆行列を持たずしたがって[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]は持ちえない．</small></ref>
行列式が <math>0</math> でない <math>n</math> 次の正方行列全体の集合はその[[圏論/代数系/古典的代数系#部分半群|部分半群]]であるが，また[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]をつくる．
行列式が <math>1</math> である <math>n</math> 次の行列全体の集合，<math>n</math> 次の直行行列全体の集合はまたその[[圏論/代数系/古典的代数系#部分群|部分群]]となる．
<div id="1.5">
<strong>1.5</strong>
一つの集合 <math>G</math> とその上の一つの演算を考察しているときには
<math>G</math> の二元 <math>a, b</math> からその演算で定まる元を単に <math>ab</math> で表せばよいが，
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